Wiki. 生象 [生象]

一类数学对象的全体构成一个生象.

生象是 $\infty$-群胚的别名, 用这个名字强调它作为基本概念的地位.

当我们把一类事物放到一起作为一个整体来谈论的时候, “集合” 的概念便产生了. 这个概念是现代数学的基础——至少人们是如此相信的. 随着数学 (尤其是同伦论, 高阶代数) 的发展, 人们发现数学语言中的 “集合” 有时不能表达实践中的 “一类事物的集体” 这一概念, 其关键的缺陷在于对何为相等这一问题的过于草率的回答.

诚然, 对于基础算术而言, 何为相等不是一个问题: $1+1$ 等于 $2$ 而不等于 $3$; 任何两个数要么相等, 要么不相等, 绝无第三种情形. 但当数学研究的对象从简单的数变成了代数, 拓扑空间, 层, 叠等等越来越复杂的结构时, 这些对象之间的相等不再是一个是或否的命题, 而是一个同样越来越复杂的问题. 甚至一个对象和自身的相等也可能不是一个平凡的命题, 而是存在多个不平凡的途径.

最终人们走向这样一个观念: 一类事物的 “集合” 之中, 任何两个事物的相等须构成一类新的事物, 从而这个新的 “集合” 中又可以谈论相等构成的 “集合”, 以至于无穷. 这种革新的 “集合” 概念就是生象 (anima).

生象有别于集合的特点在于, 生象 $A$ 中两个元素 $x,y$ 之间的相等不一定是一个是或否的命题, 而是一个新的生象 (换言之, 相等是结构而非性质), 记作 $x =_A y$. 一个直观是空间中两个点之间的道路空间.

当然, 集合是特殊的生象, 集合的定义是任何两个元素之间的相等都是命题的生象.

生象的范畴 $\mathsf{Ani}$ 是最基本的 ∞-范畴.

Philosophically, “anima” means something like “soul”—and, indeed, the functor from topological spaces to their homotopy category extracts something like the soul of a space: it only remembers data independent of any worldly representation in terms of physical points.

Kestutis Cesnavicius, Peter Scholze, Purity for flat cohomology

一种适合用于谈论生象的语言是同伦类型论.

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生象化