Wiki. 充实范畴 [充实范畴]

观念

充实范畴是范畴的推广, 其对象之间的 “态射集” 不是集合, 而是更一般的幺半范畴的对象.

• $n$-范畴可视为充实于 $(n-1)$-范畴的范畴. 这里, $n$-范畴指的是 $(\infty,n)$-范畴.
• 充实于 $\mathsf{Ani}$ 的范畴就是 $(\infty ,1)$-范畴.
• 充实于 $k$-模谱范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 的范畴即是 DG 范畴.

定义

传统

设 $\mathcal{V}$ 为幺半范畴, 定义 $\mathcal{V}$-充实范畴 $\mathcal C$ 为如下结构: 一族对象 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$, 每两个对象之间有一个态射对象 $\operatorname{Hom}(x,y)\in\operatorname{ob}(\mathcal{V})$, 每三个对象之间有一个复合态射 $$ \circ\colon \operatorname{Hom}(y,z)\otimes \operatorname{Hom}(x,y) \to \operatorname{Hom}(x,z). $$

使用代数胚

充实范畴是结合代数的推广, 是一种代数胚.

…

参考 Gepner–Haugseng, Hinich, Stefanich.

性质

充实范畴的张量积

设 $\mathcal V$ 为幺半范畴, 则对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 可定义 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A\otimes\mathcal B$, 其对象为 $(a,b)$, $a\in\mathcal A$, $b\in\mathcal B$; 态射为 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal A\otimes \mathcal B}((a,b),(a',b')) := \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(a,a')\otimes\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(b,b'). $$

充实范畴上的模

当 $\mathcal V$ 为余完备闭对称幺半范畴时, $\mathcal V$-充实范畴上可定义左模, 右模, 双模, Morita 等价等等概念; 见充实范畴上的模.

与模的关系

参考 Stefanich 第 4 章.

设 $\mathcal V$ 为可表现对称幺半范畴, 则 $\mathsf{Pr}$ 中的 $\mathcal V$-模 $\mathcal A$ 可视为 $\mathcal V$-充实范畴, 满足 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(v\otimes a,a')\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(v,\operatorname{Hom}(a,a')). $$

另一方面, $\mathcal V$-充实范畴也可自由地生成 $\mathcal V$-模: 对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$, 其上的预层的范畴, 也即 $\mathcal A$-右模的范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 是其自由生成的 $\mathcal V$-模.