Wiki. 张量积 [张量积]

定义

这里所说的张量积特指如下概念: 对于范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$, 以及生象 $A$, 张量积 $A\cdot X$ 给出自然同构 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A\cdot X,-) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(A,\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,-)), $$ 也即有伴随 $$ (-)\cdot X \dashv \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,-). $$ 张量积 $A\cdot X$ 也是 $A$ 形状, 取值于 $X$ 的常值图表的余极限 $\operatorname{colim}_A X$.

当然, 充实范畴的对象也有类似的张量积的概念.

例

给定一个谱 $E$, 生象 $X$ 的 $E$-值广义同调为 $$ E_*X = \pi_*(X_+\wedge E). $$ 其中 $X_+\wedge E$ 又可理解为 $\mathsf{Sp}$ 的对象 $E$ 与生象 $X$ 的张量积, 也即有伴随 $$ (-)_+\wedge E \dashv \operatorname{Hom}_{\mathsf{Sp}}(E,-). $$

函子 $(-)_+\wedge E\colon \mathsf{Ani} \to \mathsf{Sp}$ 保持余极限, 因而被它在一个点上的取值完全决定.