Wiki. Hochschild 同调 [Hochschild同调]
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观念
结合代数的 Hochschild 同调是其 “沿着流形 $S^1$ 的张量积”, 即 $S^1$ 上的分解同调. Hochschild 同调又叫 “迹”, “余中心”.
交换代数的 Hochschild 同调是其与生象 $S^1$ 的张量积.
定义
结合代数
设 $\mathcal C$ 为闭对称幺半范畴, $A$ 为 $\mathcal C$ 中的结合代数. 定义其 Hochschild 同调为 $$ \operatorname{HH}_*(A) := A \otimes_{A\otimes A^{\mathrm{op}}} A. $$
交换代数
当 $A$ 为交换代数时, 有 $$ \mathrm{HH}_*(A) = A\otimes_{A\otimes A}A = \operatorname{colim}_{S^1}^{\mathsf{CAlg}(\mathcal C)} A = A^{\otimes S^1}. $$ 有典范的态射 $$ A \to\mathrm {HH}^*(A), $$ 它是 $A$ 到 $S^1$-作用的交换代数的万有态射, 是交换代数的范畴中 $S^1$ 形状的常值图 $A$ 的余极限, 也是 $A\colon *\to \mathsf {CAlg}(\mathcal C)$ 沿 $*\to \mathbf{B}S^1$ 的左 Kan 扩张.
而这个余极限 $\operatorname{colim}_{S^1}^{\mathsf{CAlg}(\mathcal C)} A$ 由于 $S^1=*\sqcup_{*\sqcup *}*$, 可计算为 $$ \begin{aligned} \mathrm {HH}_*(A) &= \operatorname{colim}_* A \otimes_{\operatorname{colim}_{*\sqcup *}A}\operatorname{colim}_* A\\ & = A\otimes_{A\otimes A}A. \end{aligned} $$
记 $X = \operatorname{Spec} A$, 那么作为导出概形有 $$ \operatorname{Spec}(\operatorname{HH}_*(A)) = X\times_{X\times X} X = X^{S^1}. $$
范畴
紧生成范畴 $\mathcal C$ 的 Hochschild 同调可定义为如下单纯对象的几何实现:
性质
与 K-理论的关系
THH and TC are in practice computationally useful approximations to K