Wiki. Hochschild 上同调 [Hochschild上同调]
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观念
Hochschild 同调
定义
结合代数
固定基环 $k$, 定义结合 $k$-代数 $A$ 的 Hochschild 同调为 $$ \operatorname{HH}(A) := A \otimes_{A\otimes A^{\mathrm{op}}} A. $$ 在 $A \otimes_{A\otimes A^{\mathrm{op}}} A$ 中,
- $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ 是结合代数,
- 最左边的 $A$ 是 $A^{\mathrm{op}}\otimes A^{\mathrm{op}}$
在 $A$ 是交换环的情形, 记 $X = \operatorname{Spec} A$, 那么作为导出概形有 $$ \operatorname{Spec}(\operatorname{HH}(A)) = X\times_{X\times X} X = X^{S^1}. $$
范畴
范畴 $\mathcal C$ 的 Hochschild 上同调 (又叫中心) 为 $$ \operatorname{HH}\mathcal C :=\operatorname{End}_{\operatorname{End}(\mathcal C)}(\mathrm{id}). $$
可对偶可表现范畴
固定一个基环 $k$. 设 $\mathcal C$ 是 $\mathsf{Pr}_{k}$ 的可对偶对象, 记其对偶为 $\mathcal C^\vee$, 定义 $\mathcal C$ 的 Hochschild 同调 $\operatorname{HH}(\mathcal C)\in\mathsf{Mod}_k$ 为如下复合函子的表示对象: $$ \mathsf{Mod}(k) \overset{\mathrm{coev}}{\longrightarrow}\mathcal C\otimes_k\mathcal C^{\vee} \overset{\mathrm{ev}}{\longrightarrow} \mathsf{Mod}(k). $$ 更一般地, 对于函子 $f\colon \mathcal C \to \mathcal C$, 定义 $\operatorname{HH}(\mathcal C,f)\in\mathsf{Mod}_k$ 为如下复合函子的表示对象: $$ \mathsf{Mod}(k) \overset{\mathrm{coev}}{\longrightarrow}\mathcal C\otimes_k\mathcal C^{\vee} \overset{f\otimes\mathrm{id}}{\longrightarrow} \mathcal C\otimes_k\mathcal C^{\vee} \overset{\mathrm{ev}}{\longrightarrow} \mathsf{Mod}(k). $$
特别地, 当 $\mathcal C = \mathsf{LMod}(A)$ 是 $k$-代数 $A$ 上的左模范畴时, $\operatorname{HH}(\mathcal C) = A\otimes_{A\otimes A^{}}$
传统定义
设 $k$ 为域, $R$ 为 $k$-代数, $M$ 为 $R$ 双模. 考虑单纯 $R$-模 $C_\bullet(R,M):= M\otimes_k R^{\otimes \bullet}$, 其面映射具体为 $$ d_0\colon (m\otimes r_1\otimes \cdots \otimes r_n) \mapsto (m r_1\otimes r_2\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ d_i\colon (m\otimes r_1\otimes \cdots \otimes r_n) \mapsto (m\otimes r_1\otimes\cdots\otimes r_ir_{i+1}\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ d_n\colon (m\otimes r_1\otimes \cdots \otimes r_n) \mapsto (r_nm\otimes r_1\otimes\cdots\otimes r_{n-1}). $$
对于 $M=R$, 记 $C_n(R)=C_n(R,R)$. Hochschild 同调 $H_\bullet(R,M)$ 即是上述单纯模的同调; 对于 $M=R$, 记 $HH_n(R) = H_n(R,R)$.
类似地定义 Hochschild 上同调 $H^\bullet (R,M)$ 为复形 $\operatorname{Hom}(R^{\otimes n},M)$ 的上同调, 其中 $\delta=\sum_i (-1)^i \delta_i$, $\delta_i$ 定义为 $$ (\delta_0 f)(r_1\otimes\cdots\otimes r_n) =r_1 f(r_2\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ (\delta_i f) (r_1\otimes \cdots\otimes r_n) = f(r_1\otimes\cdots\otimes r_ir_{i+1}\otimes\cdots\otimes r_n), $$ $$ (\delta_n f)(r_1\otimes\cdots\otimes r_n) = f(r_1\otimes\cdots \otimes r_{n-1})r_n. $$ 对于 $M=R$, 记 $HH^n(R)=H^n(R,R)$.
性质
考虑 $R$ 的中心 $Z(R)$, 可以证明 $H_*(R,M)$ 上有 $Z(R)$-双模结构.