Wiki. 对偶 [可对偶对象]

设 $\mathcal C$ 为幺半范畴, 定义其对象 $x$ 的右对偶为如下数据:

• 一个对象 $x'$;
• 取值映射 $\operatorname{ev}\colon x'\otimes x\to 1$;
• 余取值映射 $\operatorname{coev}\colon 1\to x\otimes x'$;

满足 $$ x \overset{\operatorname{coev}}{\to} x\otimes x'\otimes x \overset{\operatorname{ev}}{\to} x, $$ $$ x' \overset{\operatorname{coev}}{\to} x'\otimes x\otimes x' \overset{\operatorname{ev}}{\to} x' $$ 均为恒等.

若将幺半范畴等同于一个对象的 $2$-范畴 (类似于幺半群等同于一个对象的范畴), 则对象的左右对偶可视为态射的左右伴随.

例

• 线性空间范畴的可对偶对象为有限维线性空间.
• 一个环上的模范畴的可对偶对象是有限生成投射模.

关系范畴

设范畴 $\mathcal C$ 具有终对象 $*$ 以及拉回, 则关系范畴 $\mathsf{Corr}(\mathcal C)$ 的每个对象 $X$ 均可对偶, 且对偶为自身; 取值映射和余取值映射分别为 $$ X\times X\overset{\Delta}{\leftarrow} X \rightarrow *, $$ $$ * \leftarrow X \overset{\Delta}{\rightarrow} X\times X. $$