Wiki. 中心 [中心]
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定义
群
$\mathsf{Set}$ 中的群 $G$ 的中心为 $$ Z(G) = \{g\in G | \forall h\in G, gh=hg\}. $$
对更一般的群 (如生象群) $G$, 定义 $$ Z(G) := \operatorname{Aut}_{\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)}(\mathrm{id}). $$ 换言之, $\mathbf{B}Z(G)$ 是 $\operatorname{Aut}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G)$ 在 $\mathrm{id}_{\mathbf{B}G}$ 处的连通分支. 一个生象 $A$ 的连通分支是 $A\to\tau_{\leq 0} A$ 的纤维. 因此该定义也可等价地陈述如下. 考虑群 $G$ 的外自同构群 $$ \begin{aligned} \operatorname{Out}(G)&= \tau_{\leq 0} (\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) /_{\mathrm{Ad}} G)\\ & =\tau_{\leq 0}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G). \end{aligned} $$ 那么有短正合列 $$ \mathbf{B}Z(G) \to \mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G) $$ 以及纤维列 $$ \begin{aligned} \mathbf{B}Z(G) &\to \mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G)\\ \to \mathbf{B}^2Z(G) &\to \mathbf{B}\mathsf{Aut}(\mathbf{B}G) \to \mathbf{B}\operatorname{Out}(G). \end{aligned} $$
环
固定交换环 $k$ 作为基环. 设 $A$ 为 $k$ 上的结合代数. $A$ 的中心是与所有元素交换的元素的集合 $$ Z(A) = \{a\in A | \forall b\in A, ab=ba\}, $$ 也是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模的自同态的集合 $$ Z(A) = \operatorname{End}_{\mathsf{BiMod}(A,A)}(A), $$ 也是等化子 $$ Z(A) = \operatorname{eq}\big( A\rightrightarrows \operatorname{Hom}_k(A,A) \big), $$ 其中两个映射分别为左乘与右乘.
回忆 Morita 范畴中, 结合代数 $A$ 的恒等态射即是 $A$ 作为 $(A,A)$-双模. 因此, $A$ 的中心又可理解为 $$ Z(A) = \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Morita}}(A)}(\mathrm{id}). $$
进一步, Morita 范畴嵌入线性范畴的范畴, 从而结合代数 $A$ 的中心也可定义为 $$ Z(R) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathsf{Cat}}(\mathsf{Mod}(A))}(\mathrm{id}). $$
幺半范畴
设 $\mathcal C$ 为 $k$-线性幺半范畴, 定义 $\mathcal C$ 的 Drinfeld 中心 $Z(\mathcal C)$ 是一个辫幺半范畴, 可理解为两个函子 $\mathcal C \to \operatorname{Hom}_k(\mathcal C,\mathcal C)$ 的等化子, 其对象为 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 配备自然变换 $$ X\otimes (-) \to (-)\otimes X, $$ 满足两个自然变换 $X\otimes (Y\otimes Z)\to (Y\otimes Z)\otimes X$ 相等.
2-范畴的对象
定义 $2$-范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$ 的中心为幺半群 $$ Z(X) := \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)}(\mathrm{id}_X). $$ 它类似于 $\mathcal C$ 在 $X$ 处的二阶环路空间. 由 Eckmann–Hilton 论证, $Z(X)$ 为 $\mathbb E_2$ 幺半群 (辫幺半群).
这样定义的中心又称 Hochschild 上同调.