Wiki. Morita 范畴 [Morita范畴]

一般而言, 以某种结合代数 $A$ 代表其上的模范畴 $\operatorname{Mod}(A)$, 代数之间的态射 $A\to B$ 是模范畴之间的加性, 余连续 (保持余极限) 函子 $\mathsf{Mod}(A)\to\mathsf{Mod}(B)$, 也等同于 $(A,B)$-双模 (即充实的单对象范畴之间的代函子), 所得的 $2$-范畴称为 Morita 范畴, 该范畴中的等价为 Morita 等价.

性质

与线性范畴的关系

定理 (Eilenberg–Watts). 设 $F\colon \mathsf{RMod}(R) \to \mathsf{RMod}(S)$ 为加性余连续函子, 则存在 $(R,S)$-双模 $N$ 使得 $$ F \simeq (-)\otimes_R N. $$

例

幺半 DG 范畴的 Morita 范畴是一个 $3$-范畴, 其对象为 $\mathcal A\text{-}\mathrm{Mod}(\mathsf{DGCat})$, 态射 $\mathcal A\text{-}\mathrm{Mod}(\mathsf{DGCat}) \to \mathcal B\text{-}\mathrm{Mod}(\mathsf{DGCat})$ 构成的 $2$-范畴为双模范畴 $$ (\mathcal A^{\text{rev}}\otimes\mathcal B)\text{-}\mathrm{Mod}(\mathsf{DGCat}), $$ 其中 $\mathcal A^{\text{rev}}$ 表示将 $\mathcal A$ 的乘法 (幺半结构) 反转.