Wiki. 代函子 [代函子]

观念

代函子 (profunctor) 是函子的推广, 类似于关系是函数的推广.

充实范畴之间的代函子又称为充实范畴上的双模.

单对象的充实范畴之间的代函子 (双模) 是代数同态的推广. 对于交换环 $R$, 全体单对象 $\mathsf{Mod}(R)$-充实范畴 (即 $R$-代数) 以及代函子 (即双模) 构成的 $2$-范畴正是 Morita 范畴.

定义

范畴 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的代函子 (profunctor) 是指函子 $\mathcal C \times \mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 也即 $\mathcal C$ 到预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal D)$ 的函子 $\mathcal C\to \mathsf{Psh}(\mathcal D)$. 代函子有时也记作 $\mathcal C$ ⇸ $\mathcal D$.

当然, 充实范畴也有类似的概念.

复合

代函子 $f\colon \mathcal C\times\mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 与 $g\colon \mathcal D\times\mathcal E^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Set}$ 的复合是代函子 $gf\colon \mathcal C\times\mathcal E^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, $$ gf(c,e) := \operatorname{colim}_{d\in \mathcal D} f(c,d)\times g(d,e). $$

全体范畴以及代函子构成一个 $2$-范畴.

充实范畴之间的代函子又叫双模, 代函子的复合即是双模的张量积.

同态集

代函子 $f\colon \mathcal C\times\mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ 到 $g\colon \mathcal E\times\mathcal D^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 的同态集是代函子 $[f,g]\colon \mathcal E\times\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, $$ [f,g](e,c) := \operatorname{lim}_d \operatorname{Hom}(f(c,d),g(e,d)). $$

充实范畴之间的代函子 (双模) 的同态集即是双模的同态集.

性质

与普通函子的关系

普通的函子 $f\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 给出两个代函子:

• $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(f(-),-) \colon \mathcal D \otimes\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$;
• $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,f(-)) \colon \mathcal C \otimes\mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$.