Wiki. 预层 [预层]

范畴 $\mathcal C$ 上的预层即是对偶范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 的函子.

充实范畴中也有类似概念. $\mathcal V$-充实单对象范畴上的预层, 也可视为 $\mathcal V$ 中的结合代数上的模.

性质

预层意象

任何 $\mathsf{Set}$ (或 $\mathsf{Ani}$) 取值的预层范畴都是意象; 见预层意象.

态射的计算

$$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}(X,Y) &= \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)}( \operatorname{colim}_{c\to X}\mathbf{y}(c),Y)\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c),Y)\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c), \operatorname{colim}_{d\to Y}\mathbf{y}(d))\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{colim}_{d\to Y} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Psh}(\mathcal C)} (\mathbf{y}(c), \mathbf{y}(d))\\ &= \operatorname{lim}_{c\to X} \operatorname{colim}_{d\to Y} \operatorname{Hom}_{\mathcal C} (c,d). \end{aligned} $$