Wiki. “意象” [意象]

意象 (topos) 是集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的某种推广. 一个意象可视为一个集合宇宙: 其中 “集合” 是意象的对象, 而意象中可进行许多集合论的操作. 例如, 给定 “集合” $X$ 与 $Y$, 可构造 $X$ 到 $Y$ 的函数的集合 $Y^X$, 幂集 $PX$, 它们均为 $\mathcal E$ 的对象.

任何意象都带有内蕴语言.

定义

意象是满足如下条件的范畴:

• 存在所有有限极限和余极限;
• 是 Descartes 闭范畴;
• 存在子对象分类器 $\Omega$ 与运算 $P$, 满足 $\operatorname{Sub}A\simeq \operatorname{Hom}(A,\Omega)$, $\operatorname{Sub}(B\times A)\simeq \operatorname{Hom}(A,PB)$, 换言之 $\operatorname{Sub}$ 和 $\operatorname{Sub}(B\times -)$ 是可表的.

意象中有如下的结构:

指数对象 $Y^X$ 与赋值映射 $\operatorname{ev}\colon Y^X\times X \to Y$, 具有形如 $Z\times X\to Y$ 的映射的万有性质 (即指数-乘积伴随);

注. 可定义 “余指数” (coexponential) 的概念, 但在集合范畴中不存在.

例

$\mathsf {Set}^{\mathbb N}$, “随时间变化的集合”;

(??) 任何一个 Bool 代数, 其中的乘积是 “且” $X\wedge Y$, 指数 $Y^X$ 是 “蕴含” $X\Rightarrow Y$, 赋值映射是 “推理” $(X\Rightarrow Y)\wedge X \leq Y$;

$\mathsf {FinOrd}$, 有限基数的范畴, 其中指数是通常的指数;

层意象 $\operatorname{Sh}(X)$, “由 $X$ 连续参数化的一族集合”;

预层意象 $\mathsf {Set}^{C^{\mathrm{op}}}$, “由小范畴 $C$ 参数化的集合”.

Grothendieck 将景上的层命名为 topos. 他认为,

Il semble raisonnable et légitime aux auteurs du présent séminaire de considérer que l’objet de la Topologie est l’étude des topos (et non des seuls espaces topologiques).

即拓扑学的目标是研究意象, 而不仅是拓扑空间.

意象中的逻辑不一定是 Boole 意象 的. 例如, 一个层的子层的代数不一定是 Boole 代数. 在拓扑学中也有类似的现象: 开集的补集不一定是开集.