Wiki. “赋环意象” [赋环意象]

定义

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设 $\mathcal E$ 为意象, 其中有内蕴交换环对象 $R$, 则称 $(\mathcal E,R)$ 为赋环意象.

若 $\mathcal{E}$ 为景 $\mathcal C$ 上的层意象, 则 $R$ 为 $\mathcal C$ 上的环层 (结构层).

例

一个赋环空间 $(X,\mathcal O_X)$ 诱导了赋环意象 $(\operatorname{Sh}(X),\mathcal O_X)$.

综合微分几何

在综合微分几何中, $\mathcal E$ 的对象称作 “空间” 或 “集合”, $R$ 称作 “数轴”. “环” 指的就是 “环对象”, “映射” 指的就是 “光滑映射”. $R$ 类似于实数轴 $\mathbb{R}$, 但不是一个域, 因为我们需要考虑幂零元. 简单起见我们设 $R$ 是特征 $0$ 的, 且 $1+1+\cdots + 1$ 可逆, 即 $R$ 包含 $\mathbb{Q}$. (但代数几何中人们会认真对待正特征的情形.) 有时我们需要 $R$ 是局部环: 若一些数的和可逆, 则其中至少有一个数可逆.

$R$-模 $V$ 称作有限维向量空间, 是指存在线性同构 $V\to R^n$. 其中 “存在” 一词应在层的语义 (sheaf semantics) 下理解, 即 $V$ 局部同构于 $R^n$.