Wiki. “综合微分几何” [综合微分几何]
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综合微分几何使用无穷小的空间, 以无坐标的方式, 将 “微分” 的过程变成纯粹的代数.
综合微分几何的公理始于赋环意象 $(\mathcal E,R)$. 无穷小空间引入了 $k$-阶相邻 $(k=0,1,2,\cdots)$ 的概念, 这个关系在所有映射下不变.
开集的概念
我们在 $R$ 上公理化地定义开集, 其中最重要的是要求可逆元的集合 $R^*$ 是开集.
具体地, 我们假定在 $\mathcal E$ 的所有态射中 (先天) 给定了一类态射, 称作 “开含入” (open inclusions), 满足拉回之下的稳定性 (stability under pullback), 且 $R$ 的可逆元集合到 $R$ 的含入是开含入.
开集的概念有多种不同的选择. 内蕴 (intrinsic) 地定义开集是有可能的, 例如下面讲的形式开; 但形式开的概念会使得 $R$ 不连通. 还有另外一种内蕴的开集的概念, 不会让 $R$ 不连通, 但更复杂.
有了开集, 就可以谈论局部的概念. 流形是局部微分同胚于向量空间的空间, 即存在一族空间 $\{U_i: i\in I\}$ 与开含入 $U_i\to M$, $U_i\to R^n$, 且所有 $U_i\to M$ 合在一起是满的.
注意, 流形的概念不仅依赖于 “开集” 的概念, 还依赖于 “族” 的概念. 这里指标集 $I$ 是一个外蕴 (external) 的集合, 而不是 $\mathcal E$ 中的空间.
我们假设开集都是 “形式开” 的. 称子集 $M\subset R^n$ 形式开 (formally open) 是指, 若 $a\in M$, $x$ 无穷小, 则 $a+x\in M$. 在综合微分几何中 “开” 的概念常常需要替换为形式开.