Wiki. “相邻” [相邻]

在综合微分几何中, 对给定的流形 $M$ 与非负整数 $k$, 其上的点有 $k$-阶相邻的关系. 几何学的许多概念可用相邻关系表述, 而不需要分析学.

定义

$R^n$ 中的两点 $x$, $y$ 称为 $k$-阶相邻 (记作 $x\sim_k y$) 是指 $x-y$ 属于无穷小空间 $D_k(n)$.

对角线的 k-阶邻域

流形 $M$ 上的 $k$-阶相邻关系给出了 “对角线的 $k$-阶邻域” $$ M_{(k)} := \{(x,y)\in M\times M : x\sim_k y\}. $$ ($M_{(k)}$ 本身不是流形.)

若 $M=V$ 为 $R$ 上的 $n$ 维向量空间, 则有典范同构 $$ M_{(k)}\overset{\simeq}{\to} M\times D_{k}(V),\ (x,y)\mapsto (x,y-x). $$

k-单子与射流

对 $x\in M$, 定义 $k$-单子 (monad) $\mathfrak{M}_k(x)$ 为与 $x$ $k$-阶相邻的点的集合.

对任意空间 $P$, 映射 $\mathfrak M_k(x)\to P$ 称为 $x$ 处 “$M\to P$ 映射的” 一个射流 (jet). 我们可定义射流函子 $$ J^k \colon \mathcal E/M\to \mathcal E/M. $$

无穷小单形

此处我们所指的相邻都是一阶相邻.

无穷小 $k$-单形是指 $k+1$ 个两两相邻的点. $M$ 上无穷小 $k$ 单形的空间 $$ M_{<k>}:=\{(x_0,\cdots,x_k)\in M^{k+1}: \forall i,j,x_i\sim x_j\} $$ 可视为 $M$ 上的纤维丛, 投影映射由第一个分量给出. $M_{<k>}$ 是微分形式的基本研究对象.

$M_{<1>}$ 恰为 “对角线的 $1$ 阶邻域” $M_{(1)}$.