Wiki. “射流” [射流]

在综合微分几何中, 对 $x\in M$, 定义 $k$-单子 (monad) $\mathfrak{M}_k(x)$ 为与 $x$ $k$-阶相邻的点的集合. 对任意空间 $P$, 映射 $\mathfrak M_k(x)\to P$ 称为 $x$ 处 “$M\to P$ 映射的” 一个射流 (jet). 我们可定义 $k$-射流函子 $$ J^k \colon \mathcal E/M\to \mathcal E/M. $$ 其中 $M$ 为流形.

无穷小单形与射流的伴随

我们定义无穷小 $k$-无穷小圆盘丛函子 $I_k$. 首先令 $M_k=\{(x,y)\in M\times M: x\sim_k y\}$ 为对角线的 $k$-阶邻域 (参见相邻). 对 $\gamma\colon N\to M$, 如下图定义 $I_k N \to M$: $$ \begin{array} {ccccc} I_k N & \to & M_k & \to & M\\ \downarrow && \downarrow {\small\text{proj}_1}\hspace{-2em}\\ N & \underset{\gamma}{\to} & M \end{array} $$

命题. 函子 $I_k\colon \mathcal E/M\to\mathcal E/M$ 是 $J^k$ 的左伴随, 即对任意 $\gamma\colon N\to M$ 与 $\pi\colon L\to M$, $$ \operatorname{Hom}(I_k(N),L)\simeq \operatorname{Hom}(N,J^k L). $$ 直观上, 在 $x\in M$ 处, 二者都是对每个 $z\in N|_x$ 与 $y\in \mathfrak{M}_k(x)$ 指定 $L|_y$ 的一个点.