Wiki. “无穷小空间” [无穷小空间]

定义

在综合微分几何中, 最基本的无穷小空间是一阶无穷小对象 $D\subset R$ ($R$ 的定义见赋环意象), $$ D = \{x\in R : x^2=0\}. $$ 一般地, $R^n$ 中的一阶无穷小对象 $D(n)\subset R^n$ 定义为 $$ D(n)=\{(x_1,\cdots,x_n)\in R^n : \forall i\forall j, x_ix_j = 0\}. $$ 有包含关系 $D(n)\subset D^n$.

定义 $k$-阶无穷小对象 $$ D_k(n) = \{(x_1,\cdots,x_n)\in R^n: \forall i_1 \cdots \forall i_{k+1},x_{i_1}\cdots x_{i_{k+1}}=0 \}. $$ 则有 $\{0\} \subset D(n)\subset D_2(n)\subset D_3(n)\subset\cdots$. 定义 $$ D_\infty(n)=\bigcup_k D_k(n). $$

我猜测 $D_k$ 可如下内蕴定义: $$D_k(V)=\{x\in V: x^{\otimes (k+1)}=0\in V^{\otimes (k+1)}\}.$$ 不过有一个细节没有想清楚: 对于 $x\in W$, 是否由 $\forall f\colon W\to R f(x)=0$ 可以推出 $x=0$.

性质

$D_k(n)$ 在数乘下封闭: 对 $x\in D_k(n), \lambda\in R$ 有 $\lambda x\in D_k(n)$.

$D_k(n)$ 在加法下一般不封闭, 但有 $D_k(n) + D_\ell(n)\subset D_{k+\ell}(n)$. 因此, $D_{\infty}(n)$ 在加法下封闭.