Wiki. “赋环空间” [赋环空间]
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定义
一个环化空间 $(X,\mathcal O_X)$ 是一个拓扑空间 $X$ 以及其上的一个环层 $\mathcal O_X$.
环化空间的态射 $f\colon (X,\mathcal O_X)\to (Y,\mathcal O_Y)$ 是一个拓扑空间映射 $X\to Y$ 以及环层的同态 $f^\sharp\colon \mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X$ (或等价地 $f^{-1}\mathcal O_Y\to \mathcal O_X$).
性质
模范畴之间的伴随
环化空间的态射 $f\colon (X,\mathcal O_X)\to (Y,\mathcal O_Y)$ 诱导模范畴之间的伴随 $f^*\dashv f_*\colon \mathsf {Mod}(\mathcal O_X)\leftrightarrows \mathsf {Mod}(\mathcal O_Y)$, 其中 $$ f^*G :=\mathcal O_X \otimes_{f^{-1}\mathcal O_Y}f^{-1}G. $$
对于环化空间的态射 $f\colon (X,\mathcal O_X)\to (Y,\mathcal O_Y)$, 可构造另一个环化空间态射 $\bar f\colon (X,\mathcal O_X)\to (Y,f_*\mathcal O_X)$, 则 $$ \mathcal O_X\otimes_{f^{-1}f_*\mathcal O_X}f^{-1}(G\otimes f_*\mathcal O_X)\simeq \mathcal O_X\otimes_{f^{-1}\mathcal O_Y}f^{-1}G, $$ 也即 $$ {\bar f}^* (G\otimes f_*\mathcal O_X)\simeq f^*G. $$