Wiki. “凝聚层” [凝聚层]
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Serre 的 “代数凝聚层” FAC.pdf 被称为 “20世纪代数几何最重要的文章”.
凝聚性将“点“的性质组织成为“局部“的性质. 粗略地说, 对于凝聚层, 当我们知道了一个点 $a$ 处的茎的信息, 我们就能获知与 $a$ 足够接近的点 $x$ 处茎的信息. 例如, 设凝聚层的序列 $\mathscr{F}'\to \mathscr{F} \to \mathscr{F}''$ 在一点 $a$ 处的茎是正合列, 则当 $x$ 足够接近 $a$ 时, 序列在 $x$ 处也是正合的.
另见(拟)凝聚层范畴.
定义
设 $X$ 为赋环空间. $\mathcal O_X$-模 $F$ 称为有限型 (of finite type) 是指存在 $X$ 开覆盖, 在每个局部 $U$ 上存在满射 $\mathcal O_U^{\oplus N} \to F\big|_U$. 称其为凝聚层, 是指对任意映射 $u\colon \mathcal O_U^{\oplus N}\to F$, $\ker u$ 是有限型的. 称其为拟凝聚层, 是指存在开覆盖, 每个局部 $F\big|_U$ 有表现 $\mathcal O_{U}^{(B)}\to \mathcal O_U^{(A)} \to F$.
定理 (Oka). 复解析空间上凝聚层等价于有限型.
命题. 若 $X$ 为 Noether 概形, 则凝聚层等价于有限型.
性质
凝聚层的重要性质是: 组成短正合列的三个层, 若其中两个是凝聚层, 则第三个也是凝聚层.
岡潔 (Oka Kiyoshi) 证明了一个深刻的结论: 复流形上的全纯函数层是凝聚层.
凝聚性的力量亦体现于 Cartan 定理 A 和定理 B.
例子
结构层
凝聚层最简单的例子是结构层 $\mathcal O_X$, 对应平凡线丛. 对于 $X=\operatorname{Spec}A$ 的情形, 这就是将 $A$ 视为 $A$-模.
1-形式层
设 $X$ 为 $k$ 上的非奇异仿射代数簇 (nonsingular affine algebraic variety), 其坐标环为 $A=k[X]$. 定义 $X$ 上的正则 1-形式 (regular differential 1-form) 是这样的 1-形式: 在每个局部 $U$ 上, 它都属于由 $df$ ($f\in k[U]$) 生成的 $k[U]$-子模. $X$ 上正则 1-形式构成的 $k[X]$-模记为 $\Omega[X]$.
可以证明, 若 $u_1,\cdots,u_n$ 是代数簇 $X$ 上 $x$ 附近的局部坐标, 那么存在仿射邻域 $U$, 使得 $\Omega[U]$ 作为 $k[U]$-模由 $du_1,\cdots ,du_n$ 生成.
定义 $X$ 的微分模 (module of differentials) $\Omega=\Omega[X]$. 可以证明 $\Omega$ 由 $df$ ($f$ 是 $X$ 上的正则函数) 生成.
记 $\Omega_X^1$ 为 $X$ 上的正则 $1$-形式层.
对于 $k$ 上的有限型 (finite type) 概形 $X$, 我们可类似地定义 $\Omega_X^1$.
闭子簇
对于闭子簇 $i\colon Y\to X$, $Y$ 上的向量丛 $E$ 的直像 $i_* E$ 是 $X$ 上的凝聚层. 这样, 一些关于闭子簇的问题可用凝聚层表达.
另见理想层.
重言层
射影空间 $\mathbb P=\mathbb P(V)$ 上的可逆层 $\mathcal O_{\mathbb P}(1)$ 是重言丛 (tautological line bundle) 上线性形式 (linear form) 的层. 其全局截面 $H^0(\mathbb P,\mathcal O_{\mathbb P}(1))$ 为 $V$ 上的线性形式的空间 $V^*$.
注. 重言丛的截面层为什么是 $\mathcal O(-1)$: 以 $V=\mathbb{C}^{n+1}$ 为例. 分次模 $\mathbb{C}[x_0,\cdots,x_n](1)$ 以 $x_0,\cdots,x_n$ 为 $0$ 阶元素, 对应的 $\mathcal O(1)$ 以 $x_0,\cdots,x_n$ 为全局截面, 它们是 $V$ 上的线性函数. 故重言丛是 $\mathcal O(1)$ 的对偶, 即 $\mathcal O(-1)$.