Wiki. 平展景 [平展景]

观念

概形的平展景可用于 Grothendieck Galois 理论.

定义

性质

与 Zariski 景的比较

Zariski 开集的嵌入都是平展映射, 这给出一个景的态射 $X_{\mathrm{Zar}} \to X_{\mathrm{\'et}}$, 从而有意象的几何态射 $$ f = (f^*\dashv f_*) \colon \operatorname{Sh}(X_{\mathrm{\'et}}) \to \operatorname{Sh}(X_{\mathrm{Zar}}). $$ 其中直像部分 $f_*$ 就是将 $X_{\mathrm{\'et}}$ 上的层限制到 Zariski 开集; 而逆像部分 $f^*$ 是预层逆像的层化: 对于 Zariski 层 $F$, 考虑 $X_{\mathrm{\'et}}$ 上的预层 $$ f^*_{\mathrm{pre}}F\colon (g\colon U\to X) \mapsto \operatorname{colim}_{g(U)\subset V} F(V) = g^*F(U), $$ 而 $f^*F$ 是 $f^*_{\mathrm{pre}}F$ 在 $X_{\mathrm{\'et}}$ 上的层化.

一个特例是凝聚 Zariski 层的逆像不需要层化. 设 $M$ 是 $X_{\mathrm{Zar}}$ 上的凝聚 $\mathcal O_X$-模, $M$ 作为预层拉回到 $X_{\mathrm{\'et}}$ 上的预层 $M^{\mathrm{\'et}}$, 则 $M^{\mathrm{\'et}}$ 是 $X_{\mathrm{\'et}}$ 上的层. 这是由于如下结论: 对任意忠实平坦环同态 $A\to B$ 以及 $A$-模 $M$, 序列 $$ 0\to M\to M\otimes_A B \rightrightarrows M\otimes_A B\otimes_A B $$ 正合.