Wiki. 高阶拟凝聚层 [高阶拟凝聚层]

观念

高阶拟凝聚层是拟凝聚层的范畴化. 正如拟凝聚层是环上的模的推广, 高阶拟凝聚层也是环上的 “高阶模” 的推广.

Germán Stefanich 的博士论文发展了高阶拟凝聚层的理论.

定义

定义预叠上的 “拟凝聚 $(n-1)$-范畴层” 构成的 $n$-范畴 $$ n\mathsf{QCoh} \colon \mathsf{PreStk}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}} $$ 是 “$n$ 重模范畴” $$ \mathrm{Mod}^n \colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}}=\mathsf{CAlg}(\mathsf{Sp})_{\mathrm{conn}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}} $$ 沿米田嵌入 $\mathsf{Aff}\to \mathsf{PreStk}$ 的右 Kan 扩张, 从而 $$ n\mathsf{QCoh}(X) = \operatorname{lim}_{S\in\mathsf{Aff}_{/X}}n\mathsf{QCoh}(S) $$

性质

拉回与推前

高阶拟凝聚层的拉回, 推前等等操作可体现为关系 $n$-范畴 $n\mathsf{Corr}(\mathsf{Aff})$, $n\mathsf{Corr}(\mathsf{PreStk})$ 出发的函子.

定理 (仿射概形的情形, Stefanich 定理 14.1.4). 函子 $n\mathsf{QCoh}\colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}}$ 升级为对称幺半函子 $$ (n+1)\mathsf{Corr}(\mathsf{Aff}) \to (n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}})^{(n+1)\text{-}\mathrm{op}}. $$

定理 (预叠的情形, Stefanich 定理 14.2.9). 对于 $n\geq 2$, 函子 $n\mathsf{QCoh}\colon \mathsf{PreStk}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}}$ 升级为 $$ n\mathsf{Corr}(\mathsf{PreStk}) \to (n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}})^{(n+1)\text{-}\mathrm{op}}. $$

下降

定理. 对于 $n\geq 1$, 函子 $n\mathsf{QCoh} \colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}}$ 是平展拓扑的层.

整体截面

对仿射概形 $X$, 沿其到终对象的映射 $X\to \operatorname{Spec}(\mathbb S)$ 的推前称为 “整体截面” 函子 $$ \Gamma(X,-) \colon n\mathsf{QCoh}(X) \to (n-1)\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}} $$

有一个术语衡量一个预叠 $X$ 上的高阶拟凝聚层的整体截面能否决定 $X$ 的所有几何信息, 称为高阶仿射性.