Wiki. 拟凝聚层 [拟凝聚层]

观念

概形上的拟凝聚层是环上的模的推广.

拟凝聚层的范畴 $\mathsf{QCoh}(X)$ 是代数几何中的一种代数对象 (见代数–几何对偶). 取拟凝聚层 $X \mapsto \mathsf{QCoh}(X)$ 构成一个由 (qcqs) 概形到可表现对称幺半范畴的嵌入.

拟凝聚层有高阶范畴的推广: 高阶拟凝聚层.

定义

传统

概形 $X$ 上的拟凝聚层是 $\mathcal O_X$-模 $M$, 满足在每个仿射开子概形 $\operatorname{Spec} A\hookrightarrow X$ 上等同于某个 $A$-模 $M$ 对应的模层 $\widetilde M$.

函子式

概形 $X$ 上的拟凝聚层范畴是 $$ \mathsf{QCoh}(X) := \operatorname{lim}_{\operatorname{Spec}A \to X}\mathsf{Mod}(A). $$

性质

截面的可控奇异性

设 $X$ 为拟紧拟分离概形, $f\in\Gamma(X,\mathcal O_X)$ 为整体函数, 考虑 $f$ 不消失的开子空间 $X_f$, 则对任意拟凝聚层 $F$, $$ F(X)_f \to F(X_f) $$ 为同构. 这个事实的一种直观是, 拟凝聚层截面的奇异性总是可控的, 类似于一个亚纯函数.