Wiki. “凝聚层的导出范畴” [凝聚层的导出范畴]

评注

为什么研究凝聚层的导出范畴?

向量丛不能做同调, 因为向量丛的范畴不是 Abel 范畴 (例如向量丛的态射的核不一定是向量丛).

复流形上的向量丛相当于局部自由凝聚层凝聚层构成 Abel 范畴, 可以做同调; 而导出范畴是同调代数的合适的语言.

定义

记 $D^b(X):= D^b(\mathsf{Coh}(X))$ 为 $X$ 上凝聚层的有界导出范畴.

对于两个 $k$-概形 $X,Y$, 若存在 $k$-线性的三角范畴等价 $D^b(X)\simeq D^b(Y)$, 则称 $X$, $Y$ 导出等价.

拟凝聚层

由于缺少内射对象, 需要考虑更大的范畴, 即拟凝聚层 $\mathsf {Qcoh}(X)$ 的导出范畴. (对于 Noether 概形 $X$, 后者有足够多内射对象.)

命题. 对 $*=+,-,b$, $D^*(\mathsf {Qcoh}(X)) \simeq D^*_{\mathsf {Qcoh}}(\mathcal O_X\mathsf {-Mod})$, 其中后者表示 $D^*(\mathcal O_X\mathsf {-Mod})$ 中具有拟凝聚同调的 $\mathcal O_X$ 模复形的子范畴.

不可分解性

定义. 三角范畴 $D$ 可分解是指存在两个非空的子三角范畴 $D_1,D_2$, 互相没有非零态射, 且 $D$ 中的元素 $C$ 总可放进特殊三角 $A\to C\to B\to A[1]$, $A\in D_1,B\in D_2$.

命题. $D^b(X)$ 不可分解当且仅当 $X$ 连通.

引理. 对于 $\mathcal F^\bullet\in D^b(X)$, 若 $\operatorname{supp}\mathcal F^\bullet:= \bigcup_i \operatorname{supp}(\mathcal H^i(\mathcal F^\bullet))$ (见支集) 等于两个不交闭集 $Z_1,Z_2$ 的并, 则 $\mathcal F^\bullet$ 可写为 $\mathcal F_1^\bullet \oplus \mathcal F_2^\bullet$, 其中 $\operatorname{supp}(\mathcal F_i^\bullet) = Z_i$. (类似于环的中心幂等元分解.)

重构

由导出范畴与自等价群可重构出代数簇本身 (Bondal, Orlov).

当 $\omega_X$ 丰沛 (这可以推出 $X$ 是 “一般类型”, general type) 或 $\omega_X^{-1}$ 丰沛 (即 $X$ 是 Fano 簇) 时, 由 $D^b_{\mathsf {coh}}(X)$ 可重构 $X$.