Wiki. “三角范畴” [三角范畴]

三角范畴是范畴上的一种结构, 最早由 Verdier (1963年) 从导出范畴的结构抽象而来.

定义

设 $\mathsf D$ 为加性范畴. (若它是 Abel 范畴, 则一切都是显然的.) 三角范畴的结构包括位移函子 (shift functor) $T\colon \mathsf D\to \mathsf D$ (加性等价), 以及一族特殊三角 (distinguished triangle, 或正合三角 exact triangle) $A\to B\to C\to T(A)$. 有时我们又将 $T(A)$ 记作 $A[1]$, 记 $[n]$ 为其 $n$ 次复合.

特殊三角满足如下公理.

TR1.

1. 对任意对象 $A$, $A\overset{\operatorname{id}}{\to} A \to 0 \to A[1]$ 是特殊三角.
2. 同构于特殊三角的三角也是特殊三角.
3. 任意态射 $f$ 都可补全为特殊三角 $A\overset f\to B\to C\to A[1]$.

TR2 (旋转公理).

如下两个三角, 若其中之一是特殊三角, 则另一个也是特殊三角: $$ A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C \overset{h}{\to} A[1], $$ $$ B \overset{g}{\to} C \overset{h}{\to} A[1]\overset{-f[1]}{\to}B[1]. $$

通常我们如下画特殊三角: $$ \begin{array} {ccc} X & \to & Y\\ &\hspace{-1em}_{+1}\nwarrow\quad\quad\swarrow&\\ &Z& \end{array} $$

TR3 (锥的弱唯一性).

存在 (但不唯一) 态射使下图交换: $$ \begin{array} {ccccccc} X & \to & Y & \to & Z & \to & X[1]\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow\exists\hspace{-1em} & &\downarrow\\ X' & \to & Y' & \to & Z' & \to & X'[1] \end{array} $$ (问题: 什么意义下它唯一? coherence?)

TR4 (八面体公理).

(理论成功的关键)

$$ \begin{array} {ccccccc} X & \to & Y & \to & Q_1 & \to & X[1]\\ & \searrow & \downarrow && \downarrow &&\\ &&Z & \to & Q_2 & \to & X[1]\\ &&\downarrow & \swarrow\\ && Q_3\\ && \downarrow\\ && Y[1] \end{array} $$ 若有 $X\to Y\to Z$, 则有特殊三角 $Q_1\to Q_2\to Q_3$.

同调函子

函子 $F\colon \mathsf D\to\mathsf {Ab}$ 称为同调函子是指它将特殊三角 $X\to Y\to Z\to X[1]$ 对应到正合列 $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$.

例. 对任意 $W\in \mathsf D$, $\operatorname{Hom}(W,-)$ 是同调函子. 这是由于如下图表: $$ \begin{array} {ccccccc} W & = & W & \to & 0 & \to & W[1]\\ \downarrow\exists\hspace{-1em} & &\downarrow & &\downarrow & &\downarrow\exists\hspace{-1em}\\ X & \to & Y & \to & Z & \to & X[1] \end{array} $$

性质

若 $X\overset{f}{\to} Y\overset{g}{\to} Z\to X[1]$ 是特殊三角, 则 $gf=0$. 这是由于如下图表: $$ \begin{array} {ccccccc} X & = & X & \to & 0 & \to & X[1]\\ \downarrow & &\downarrow f\hspace{-1em} & &\downarrow\exists\hspace{-1em} & &\downarrow\\ X & \underset{f}{\to} & Y & \underset{g}{\to} & Z & \to & X[1] \end{array} $$

同伦范畴

加性范畴 $\mathcal A$ 的链复形无穷范畴 $\mathsf {Ch}(\mathcal A)$ 的链复形范畴的同伦范畴 $\mathsf K(\mathcal A)$ (态射是链映射的同伦类) 是三角范畴.