Wiki. “稳定无穷范畴” [稳定无穷范畴]
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动机
对于拓扑空间 $X,Y$, $$ [X,Y]_s :=\operatorname{colim}_k [\Sigma^k X,\Sigma^k Y], $$ 具有自然的 Abel 群结构. 特别地, 稳定同伦群 $\pi_n^s(X)=[S^n,X]_s$ 是 Abel 群.
我们希望将空间的范畴 “稳定化”, 使得稳定化后的映射空间是上述的余极限, 也即形式上令 $\Sigma$ 可逆. 参见形式取逆.
对于具有有限极限和有限余极限的范畴, 存在伴随 $\Sigma \dashv \Omega$: $$ \text{Map}(\Sigma X,Y)\simeq *\times_{\text{Map}(X,Y)}*\simeq \text{Map}(X,\Omega Y). $$
定义
稳定 ∞-范畴是具有有限极限且 $\Omega$ 为等价的带点范畴.
等价定义
命题. 设 $\mathcal C$ 为带点 ∞-范畴, 具有有限极限和有限余极限. 则如下条件等价:
性质
稳定无穷范畴自然地充实范畴于谱的范畴: 定义 $$ \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)_n = \mathrm {Map}(X,Y[n]), $$ 其中 $\mathrm {Map}$ 是范畴本来的映射空间, $Y[n]$ 是 $Y$ 偏移 $n$ 次, $\underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)$ 是一个谱.
稳定无穷范畴的同伦范畴是三角范畴. 例如两个对象 $X,Y$ 的直和 $X\oplus Y$ 既为范畴论和 $X+Y$, 又为范畴论积 $X\times Y$, 两者同构.
稳定无穷范畴的对偶范畴是稳定无穷范畴.
例
1-范畴视为 ∞-范畴不可能是稳定 ∞-范畴, 除非它是平凡的 (等价于终范畴 $1$).
谱的范畴是最基本的稳定无穷范畴, 它是 无穷群胚的无穷范畴 的稳定化.
对于 Abel 范畴 $\mathcal A$, 其上的有界链复形范畴 $\operatorname{Ch}^{\text{b}}(\mathcal A)$ 构成稳定无穷范畴. 见链复形无穷范畴.