Wiki. 稳定范畴 [稳定无穷范畴]
Wiki. 稳定范畴 [稳定无穷范畴]
观念
以下的范畴均默认为 $(\infty,1)$-范畴.
稳定范畴是类似于谱范畴的, 具有一对互逆的环路空间和逆环路空间 (纬悬) 函子的范畴.
定义
稳定范畴是满足如下条件的范畴 $\mathcal C$:
- $\mathcal C$ 具有有限极限和有限余极限; 特别地, 具有零对象 $0$, 以及态射的纤维, 余纤维;
- $\mathcal C$ 中的拉回方块等同于推出方块; 特别地, 纤维列等同于余纤维列;
- 纬悬函子 $\Sigma\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 与环路空间函子 $\Omega\colon \mathcal C\to \mathcal C$ 构成一对互逆的范畴等价.
记号. 对稳定范畴的对象 $X$ 以及整数 $n$, 记 $$ X[n] = \Sigma^n X, $$ $$ X[-n] = \Omega^n X. $$
性质
稳定化
具有有限极限的范畴都有稳定化.
谱充实
稳定范畴自然地充实于谱的范畴. 对于稳定范畴 $\mathcal C$ 中的对象 $X,Y$, 映射谱 $\underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)$ 可如下定义: $$ \underline{\operatorname{Hom}}(X,Y)_n = \operatorname{Hom}(X,Y[n]). $$
同伦范畴
稳定范畴的同伦范畴是三角范畴. 例如两个对象 $X,Y$ 的直和 $X\oplus Y$ 既为范畴论和 $X+Y$, 又为范畴论积 $X\times Y$, 两者同构.
对偶对称性
稳定范畴的对偶仍是稳定范畴.
例
$1$-范畴不可能是稳定范畴, 除非它是平凡的 (等价于终范畴 $1$).
对于 Abel 范畴 $\mathcal A$, 其上的有界链复形范畴 $\operatorname{Ch}^{\text{b}}(\mathcal A)$ 构成稳定无穷范畴. 见链复形无穷范畴.