Wiki. 逆环路空间 [逆环路空间]

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观念

在 $\infty$-意象 $\mathcal X$ 中, 逆环路空间函子给出了群的范畴 $\mathsf{Grp}(\mathcal X)$ 到带基点连通对象的范畴 $\mathcal X^{\geq 1}_{*/}$ 的等价. 更一般地, $n$ 阶逆环路空间给出了 $\mathbb E_n$-群的范畴到带基点 $n$-连合对象的范畴 $\mathcal X^{\geq n}_{*/}$ 的等价.

对象 $X$ 到 $\mathbb E_n$-群 $A$ 的 $n$ 阶逆环路空间 $\mathbf{B}^n A$ 的映射同伦类称为 $n$ 阶上同调 $H^n(X,A)$.

定义

通过几何实现

在 $\infty$-意象中, 群 $G$ 的逆环路空间是单纯对象 $$ \mathbf{B}^\bullet G = (\cdots G\times G\times G \to^4 G\times G \to^3 G\rightrightarrows *) $$ 的几何实现 (余极限).

而在拓扑空间的 $1$-范畴中, 拓扑群 $G$ 的逆环路空间可实现为拓扑空间 $$ \begin{aligned} |\mathbf{B}G| &= \bigcup_{(g_1,\cdots,g_n)} |\Delta^n|\\ & = \bigcup_n \underbrace{G * G * \cdots * G}_n. \end{aligned} $$

例

$\mathbf{B}\mathbb{Z} \simeq S^1$.
$\mathbf{B}\mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb RP^\infty$.
$\mathbf{B}S^1 \simeq \mathbb{C}P^{\infty}$.
$\mathbf{B}\mathrm{O}(n)\simeq\mathbf{B}\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})=\text{Gr}_n(\mathbb{R}^{\infty})$ 是 Grassmann 流形, 其 $\mathbb{Z}_2$ 系数上同调类为 Stiefel–Whitney 类: $$ H^*(\mathbf{B}\mathrm{O}(n);\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2[w_1,\cdots,w_n], $$ 其中 $w_k\in H^k$.
$\mathbf{B}\mathrm{U}(n)\simeq\mathbf{B}\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})=\text{Gr}_n(\mathbb{C}^{\infty})$ 是复 Grassmann 流形, 其 $\mathbb{Z}$ 系数上同调为陈类: $$ H^*(\mathbf{B}\mathrm{U}(n);\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_1,\cdots,c_n], $$ 其中 $c_k\in H^{2k}$.

性质

函子性与关联丛

对于群同态 $\varphi\colon H\to G$, 有 $H$ 通过 $\varphi$ 在 $G$ 上的左乘作用. 映射 $\mathbf{B}\varphi\colon \mathbf{B}H\to \mathbf{B}G$ 是 $\mathbf{B}H$ 上的万有 $H$-主丛通过该作用关联的 $G$-主丛的分类映射.

与 Eilenberg–Maclane 空间的关系

对于离散群 $G$, 其分类空间 $\mathbf{B}G$ 是 Eilenberg–Maclane 空间 $K(G,1)$.

上同调

若 $G$ 紧或半单, 陈–Weil 理论给出同构 $$ H^*(\mathbf{B}G;\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}[\mathfrak g]^G. $$ 其中 $\mathbb{C}[\mathfrak g]^G$ 称为不变多项式代数, 从而由不变多项式可以给出示性类.

模型

Milnor 构造

Milnor 将分类空间 $BG$ 构造为 $n$ 重连接 $G * G * \cdots * G$ 的余极限. (这个构造关于 $G$ 有函子性.)

等价地, $BG$ 可构造为单对象范畴 $G$ 的脉的几何实现.

有限群

对任意有限群 $G$, 取 $G$ 的酉表示, 则可得 $G$ 在 $S^\infty\subset \mathbb{C}^{\infty}$ 上的自由作用, 从而构造 $\mathbf{B}G$.