Wiki. 分类空间 [分类空间]
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一种结构 $P$ 的分类空间 $B$ 是这样一个空间: 任何空间 $X$ 上的结构 $P$ 对应于 $X$ 到 $B$ 的映射.
在范畴论上, 设 $X$ 是一群胚, $X$ 上的 Grothendieck 纤维化对应于伪函子 $X^{\text{op}}\to \mathsf{Set}$. 若限制纤维为集合 $F$, 则这样一个伪函子的像是集合 $F$ 与其自同构构成的单对象范畴.
定义
群 $G$ 的分类空间 (classifying space) 是连通空间 $BG$, 以及 $G$-主丛 $EG\to BG$, 称作万有主丛, 满足对任意仿紧 (paracompact) 空间 $X$, $X$ 上 $G$-主丛的等价类与 $X$ 到 $BG$ 的映射的同伦类一一对应, 也即 $$\operatorname{Prin}_G(X)_0 \simeq \pi_0 \mathsf {Top}(X,BG).$$
由上述定义可以证明 $BG$ 在同伦等价的意义下唯一.
定理. 若 $E\to B$ 为 $G$-主丛, $E$ 可缩, 则 $B$ 为 $G$ 的分类空间.
性质
不同群的分类空间的关系
对于群同态 $\varphi\colon H\to G$, 存在连续映射 $B\varphi\colon BH\to BG$, 且满足 $$ (B\varphi^*)EG = EH\times_{\varphi} G. $$ 也即 $B\varphi$ 是 $BH$ 上 $\varphi$ 定义的关联丛 $G$-主丛的分类映射.
命题. 设 $\varphi\colon H\to G$ 为同伦等价, 则 $B\varphi\colon BH\to BG$ 为同伦等价.
证明. 对纤维化 $H\to EH\to BH$ 与 $G\to EG\to BG$ 的同伦群长正合列用五引理.
推论. 设 $K$ 是 Lie 群 $G$ 的极大紧子群, 则 $BG$ 同伦等价于 $BK$. (岩泽分解说明 $K\to G$ 是同伦等价.)
Eilenberg–Maclane 空间
对于离散群 $G$, 其分类空间 $BG$ 又称为 Eilenberg–Maclane 空间 $K(G,1)$.
同伦假设
在同伦假设之下, 群胚对应于同伦 1-类型, 群 $G$ 作为单对象范畴对应拓扑上的分类空间 $BG$.
同伦群
由于 $EG$ 可缩, 同伦群的长正合列给出 $$ \pi_{n-1}(G)\simeq \pi_n(BG). $$
上同调
若 $G$ 紧或半单, 陈–Weil 理论给出同构 $$ H^*(BG;\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}[\mathfrak g]^G. $$ 其中 $\mathbb{C}[\mathfrak g]^G$ 称为不变多项式代数, 从而由不变多项式可以给出示性类.
构造
Milnor 构造
Milnor 将分类空间 $BG$ 构造为 $n$ 重连接 $G * G * \cdots * G$ 的余极限. (这个构造关于 $G$ 有函子性.)
等价地, $BG$ 可构造为单对象范畴 $G$ 的脉的几何实现.
例
$B\mathbb{Z} = S^1$, $E\mathbb{Z}=\mathbb{R}$.
$B\mathbb{Z}_2 = \mathbb{R}P^\infty$, $E\mathbb{Z}_2=S^\infty$.
对任意有限群 $G$, 取 $G$ 的酉表示, 则可得 $G$ 在 $S^\infty\subset \mathbb{C}^{\infty}$ 上的自由作用, 从而构造 $BG$.
$BS^1=\mathbb{C}P^{\infty}$, $ES^1=S^{\infty}$.
$BO(n)=BGL_n(\mathbb{R})=\text{Gr}_n(\mathbb{R}^{\infty})$ 是 Grassmann 流形, 其 $\mathbb{Z}_2$ 系数上同调类为 Stiefel–Whitney 类: $$ H^*(BO(n);\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2[w_1,\cdots,w_n], $$ 其中 $w_k\in H^k$.
$BU(n)=BGL_n(\mathbb{C})=\text{Gr}_n(\mathbb{C}^{\infty})$ 是复 Grassmann 流形, 其 $\mathbb{Z}$ 系数上同调为陈类: $$ H^*(BU(n);\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_1,\cdots,c_n], $$ 其中 $c_k\in H^{2k}$.