Wiki. “模空间” [模空间]
Wiki. “模空间” [模空间]
模空间 (moduli space) 是参数化一类几何对象的空间, 例如带 $n$ 个标记点的 $g$ 亏格 Riemann 面的模空间 $\mathcal M_{g,n}$. 模空间的点为对象的等价类, 模空间的一条曲线为对象的单参数族.
底空间 $B$ 上的一族空间通常用平坦态射 $X\to B$ 描述, 其纤维为我们关心的某一类空间.
一般而言, 模问题 (moduli problem) 可视为函子 $$ \mathcal M\colon \mathsf {Sch}^{\text{op}}\to \mathsf {Set}, $$$\mathcal M(S)$ 为以 $S$ 参数化的空间族的集合. 从米田引理的观点, $S$ 参数化的一族空间相当于 $S$ 到 $\mathcal M$ 的一个态射. 函子 $\mathcal M$ 不总是可表的. 当它可表时, 其表示对象称为细模空间.
细模空间
细模空间是带有 “万有” 族的空间 (概形) $M$, 使得任意一组空间都是由唯一的一个映射 $B\to M$ 拉回得到. 于是我们有双射 $$ \{B\text{ 上族的等价类}\} \leftrightarrow \{B\to M\} $$ “万有” 族总是重言的.
细模空间不存在的情况
然而, 细模空间并不总是存在. 例如一维向量空间的 “模空间” 应当是一个点 (因为一维向量空间在同构意义下唯一), 然而 $S^1$ 上有两个不同构的一维向量丛.
一般而言, 对于有非平凡自同构的对象, 细模空间不存在. 这个问题一般有三种解决方法:
例
$\mathbb P^1$ 上四点组的模空间
我们讨论 $\mathbb P^1$ 上的四点组的射影等价 (projective equivalence). 所谓射影等价是指 $\mathbb P^1$ 的自同构 (分式线性变换). 四点组是指 $\mathbb P^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 上互不相同的四个点. 两个四点组等价当且仅当它们有相同的交比 (cross ratio). 四点组 $(0,1,\infty,z)$ 的交比是 $z$. 因此, 所考虑的模空间是 $$ \mathcal M_{0,4}= \mathbb P^1 \setminus \{0,1,\infty\}. $$
主丛 (向量丛) 的模空间
设 $k$ 为域, $G$ 为 $k$ 上的约化代数群. $k$-概形 $X$ 上 $G$-主丛的模空间是函子 $\mathrm {Bun}_G \colon \mathsf {Sch}_k \to\mathsf {Grpd}$, 它将 $k$-概形 $S$ 映射到 $X\times S$ 上 $G$-主丛的群胚.
在 $G=\mathrm {GL}_n$ 的情形, $G$-主丛等同于 $n$ 阶向量丛, $\mathrm {Bun}_G$ 等价于 $X$ 上 $n$ 阶向量丛的模空间 $\mathrm {Bun}_n$.
旗流形
旗流形是 Borel 子群的模空间.