Wiki. “J-全纯曲线” [J-全纯曲线]

J-全纯曲线可用于研究辛流形的整体结构, Kähler 流形的形变. 其中 J 指近复结构.

定义

近复结构 $(M,J)$ 上的 $J$-全纯曲线是 $(j,J)$-近复结构 $u\colon (\Sigma,j)\to (M,J)$, 其中 $(\Sigma,j)$ 为 Riemann 面. 通常我们取 $(\Sigma,j)$ 为 Riemann 球面 $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$.

若 $u$ 为嵌入, 其像为 $M$ 的 $2$ 维子流形, 且切空间是 $J$-不变子空间. 反之, 设 $C\subset M$ 是 $2$ 维子流形, $TC\subset TM$ 是 $J$-不变子空间, 则 $J$ 在 $C$ 上的限制可积 (因为 $2$ 维实流形上的任意近复结构都可积), 故 $C$ 有 $J$-全纯参数化.

称 $J$ 顺服于 (tamed by) $\omega$ 是指对任意非零向量 $X$, $$ \omega(X,JX) > 0. $$

模空间

$J$-全纯曲线的关键事实是其模空间一般为有限维, 且模空间的配边类不依赖于 $J$ 的选取, 只要 $J$ 顺服于 $\omega$.

设 $A\in H_2(M,\mathbb{Z})$, 所有代表 $A$ 的 $J$-全纯曲线构成模空间 $\mathcal M(A,J)$.