Wiki. “Riemann 面” [Riemann面]

Riemann 面最初的动机是单复变解析函数的自然定义域.

定义

Riemann 面是指一维复流形, 又称复曲线.

例

常见的 Riemann 面有开圆盘 $D^2$, 复射影平面 $\mathbb CP^1$ (也记作 $\mathbb P^1$), 环面 $\mathbb C / \Gamma = T^2$ ($\Gamma$ 为格点).

$T^2$ 上有不可数无穷多种复流形结构.

全纯映射的性质

在 Riemann 面上,

• 两个全纯映射只要在一个有极限点的子集上相等, 就在整个曲面上相等.
• 全纯映射局部上形如 $z\mapsto z^k$.
• 亚纯函数即是到 $\mathbb P^1$ 的全纯映射.
• 非常值全纯映射是开映射.

Riemann 面来自代数几何

命题. 设 $C$ 为连通紧 Riemann 面, 则存在 $\mathbb{C}$ 上的光滑紧合曲线 $X$, 使得 $C$ 同构于 $X$ 的GAGA $X^{\text{an}}$, 即 Riemann 面 $C$ “来自代数几何”.

Abel 和 Jacobi 研究了此时由 $C$ 构造的复环面. 他们的研究开辟了 Abel 簇的概念.