Wiki. “Abel 簇” [Abel簇]

定义

Abel 簇

域 $k$ 上的 Abel 簇是指光滑连通紧合 $k$-群概形.

由光滑性, 只需对 $\bar k$-点检查群概形公理.

Abel 概形

概形 $S$ 上的 Abel 概形是 $S$ 上有连通纤维 (connected fiber) 的光滑紧合群概形.

性质

同源

Abel 概形之间的同源 (isogeny) 是指有限平坦满同态, 这等价于逐纤维的同源.

例如对于自然数 $N$ 有乘以 $N$ 映射 $A\to A$, $a\mapsto Na$, 其核 $A[n]$ 平展局部同构于 $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^g$ ($g$ 为 $A$ 的相对维数).

p-可除群

定义 Abel 概形 $A/S$ 对应的 p-可除群为 $$ A[p^{\infty}] :=\operatorname{colim}A[p^n]. $$ (作为 $S$ 上的 fppf 概形)

例

$1$ 维 Abel 簇是椭圆曲线, 即亏格为 $1$ 且有有理点 $e\in X(k)$ 的曲线.

相关概念

志村簇