Wiki. “椭圆曲线” [椭圆曲线]

定义

椭圆曲线 (elliptic curve) 是亏格为 $1$ 且有有理点 $e\in X(k)$ 的曲线.

一般的整系数椭圆曲线形如 $$ E \colon y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6. $$ 在坐标变换 $y=\frac{1}{2}(Y-a_1X-a_3)$, $x=X$ 之下, 上式变为 $$ Y^2 = 4X^3 + b_2 X^2 + 2 b_4 X + b_6. $$

定理. 任何椭圆曲线都可以写成 $$ X = \{ y^2 = x^3 + ax + b \} \cup \{\infty\}. $$

复数上的椭圆曲线

复数上的椭圆曲线可等价地定义为

• $\mathbb{C} / \Lambda$, 其中 $\Lambda$ 为格点;
• 一维紧复 Lie 群.
• 亏格 $1$ 的 Riemann 面, 带有一个基点;
• $3$ 次代数曲线.

性质

命题. 设 $P,Q$ 是椭圆曲线上两点, 若 $P,Q$ 作为除子等价, 即 $P-Q=\operatorname{div}(f)$, 则 $P=Q$, 即 $f$ 为常数.

相关概念

椭圆曲线的模叠, 谷山–志村猜想