Wiki. “Langlands 纲领” [Langlands纲领]
椭圆曲线←Ramanujan→自守形式
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$\operatorname{Gal}(\overline{F}/F) \to {^LG}$, Frobenius←原始 Langlands 对应→$\mathbb G(\mathbb A_F)$ 的自守表示, Hecke
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曲线上的平坦 ${^LG}$-丛←几何 Langlands 对应→主丛的模空间 $\mathrm {Bun}_G$ 上的 Hecke 特征层
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$\mathrm {Loc}_{^LG}$ 上的导出范畴←范畴 Langlands 对应→$\mathrm {Bun}_G$ 上的 D-模导出范畴

故事从 Euler 开始. Euler 用不严格的方法算出了自然数的 $s$ 次方的倒数和 ($s\geq 2$ 为自然数), 这个数后来叫做 Riemann ζ-函数 $\zeta(s)$. 除此之外, Euler 还指出 $\zeta(s)$ 可写成所谓 “Euler 因子” $1/(1-p^{-s})$ 对素数 $p$ 的乘积, 由此可以推出素数分布的一些信息. Riemann 发现 $\zeta(s)$ 是全纯函数, 从而自然地寻求其解析延拓. 这件事可以用 Euler 的乘积公式以及 $\zeta(s)$ 满足的函数方程 $$ \Lambda(1-s)=\Lambda(s),\ \Lambda(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) $$ 来做到. (奇妙的是, Euler 使用他的发散级数发现了 $\zeta(s)$ 的函数方程.) 这个函数方程中的 $\Gamma$ 项直到 Tate 才获得完全的理解: 它是 $\mathbb{Q}$ 的 Archimedes 位的 Euler 因子.

后来, Riemann 建立了一个显式的公式, 将素数和 $\zeta$ 函数的零点关联起来. 由此他猜想 $\zeta$ 的零点的实部为 $1/2$, 这相当于素数分布的一个极好的性质.

Dirichlet 在研究模 $q$ 余 $a$ 素数的分布时用到了所谓 Dirichlet L-函数. 他的方法可理解为 $\mathbb{Z}/q$ 上的调和分析. 设 $\chi\colon (\mathbb{Z}/q)^\times \to\mathbb{C}^\times$ 为 Dirichlet 特征, 定义 $$ L(\chi,s)=\sum_{n}\chi(n)n^{-s} = \prod_p 1/(1-\chi(p)p^{-s}). $$

相关概念

Weil 罗塞塔石碑, 函数域类比

局部几何 Langlands 对应

镜对称