Wiki. “Langlands 对应” [Langlands对应]

本页介绍数域上的 Langlands 对应. 另见几何 Langlands 对应, Langlands 纲领.

Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory

一维

数论中一个重要的问题是绝对 Galois 群. 对于有理数域, 我们不能很好地描述其绝对 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, 但可以描述它的极大 Abel 商. 这对应于有理数域的极大 Abel 扩张 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$, 它是 $\mathbb{Q}$ 添加所有单位根所得的扩张. $$ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}/\mathbb{Q}) \simeq \widehat {\mathbb{Z}}^\times \simeq \prod_{p}\mathbb Z_p^\times. $$ Abel 类域论的结论是 $\operatorname{Gal}(F^{\mathrm{ab}}/F)$ 等同于 $F^{\times}\backslash \mathbb A_F^\times$ 的连通分支的群. 在 $F=\mathbb{Q}$ 的情形它是 $$ \mathbb{Q}^{\times}\backslash \mathbb A_{\mathbb{Q}}^\times\simeq \prod_p \mathbb{Z}_p^\times \times \mathbb{R}_{>0}. $$

$n$ 维

• $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 的 $n$ 维表示 - $\mathrm{GL}_n(\mathbb A_F)$ 的自守表示