Wiki. 局部域 [局部域]

局部域是相对于整体域的概念, 若整体域可想象为曲线上的有理函数域, 则局部域是曲线上的形式邻域 (所谓 “形式圆盘”) 上的函数域.

整体域的 Langlands 纲领有一个局部域版本, 称为局部 Langlands 对应.

定义

局部域是局部紧 Hausdorff 拓扑域.

性质

局部域的同构类可如下分为三类:

• Archimedes 局部域, 即 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$;
• 非 Archimedes 特征 $0$ 局部域, 即 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张, 又称 $p$-进域;
• 非 Archimedes 特征 $p$ 局部域, 即 $\mathbb F_q(\!(t)\!)$ ($q$ 为 $p$ 的幂).

非 Archimedes 局部域上的赋值

非 Archimedes 局部域 $F$ 上有一绝对值 $\|{-}\| \colon F \to \mathbb{R}_{\geq 0}$, 满足对 Haar 测度 $\mu$ 和任意可测子集 $X$, $$ \mu(aX) = \|a\|\mu(X). $$

定义 $F$ 的整数环 (ring of integers) 为 $$ \mathcal O = \{x\in F \mid \|x\|\leq 1\}. $$ 它是局部环, 离散赋值环, 有唯一的极大理想 $$ \mathfrak m = \{x\in F \mid \|x \| < 1\}. $$ 一般记 $k=\mathcal O / \mathfrak m$ 为其剩余域 (residue field). 非 Archimedes 局部域的剩余域一定是有限域.

局部域的整数环的极大理想 $\mathfrak m$ 是主理想, 其生成元 $\varpi$ 称为单值子 (uniformizer). 若取定一个单值子 $\omega$, 则域的每个元素都可以唯一地写成 $\omega^n u$, $n$ 为整数, $u\in\mathcal O^\times$ 为单位.

若 $F$ 是非 Archimedes 特征 $p$ 局部域, 则 $F$ 的每个单值子 $\varpi$ 给出一个同构 $F \simeq k(\!(T)\!)$.