Wiki. “局部环” [局部环]

定义

局部环是满足如下等价条件的环 $R$:

• $0\neq 1$, 且对任意 $a,b\in R$, 若 $a+b=1$, 则 $a,b$ 中至少有一个可逆.
• $R$ 仅有一个极大理想 $\mathfrak m_R$.

局部环的态射 $\varphi \colon R\to S$ 不仅是环同态, 而且要满足如下条件:

• 对任意 $x\in R$, 若 $\varphi(x)$ 可逆, 则 $x$ 可逆.
• 对 $R,S$ 的极大理想 $\mathfrak m_R,\mathfrak m_S$, 有 $\varphi(\mathfrak m_R)\subset\mathfrak m_S$.

例

• $\mathbb{C}[x]/(x^3)$ 是局部环, 仅有一个极大理想 $(x)$.
• 形式幂级数环 $\mathbb{C}[x](x.md)$ 是局部环.
• $\mathbb{C}[x,y]/(x^3,y^4,x^2y)$ 是局部环, 仅有一个极大理想 $(x,y)$.