notes平展上同调讨论班 : 非 Abel 上同调, 主齐性空间与 Brauer 群 [EC-H1-H2]

这是 2025 年秋季平展上同调讨论班的一篇讲稿. 参考 Milne.

  • 第一部分 (主齐性空间与 $H^1$) 是第 III.4 节,
  • 第二部分 (Brauer 群与 $H^2$) 是第 IV 章.

TODO

第一次讲之后留下的漏洞:

主齐性空间与一阶上同调

本节的目标是

非 Abel 上同调: 一般理论

某种意义上, 非 Abel 上同调是比传统的 “Abel” 上同调更简单的概念. 它的简单在于定义的简单, 而不简单在于没有什么计算的手段.

上同调页面讨论了上同调的一般理论. 数学上所有名为 “某某上同调” 的概念, 无论 Abel 或者非 Abel, 都是如下概念的特殊情况.

定义 (上同调). 设 $\mathcal C$ 为 $\infty$-范畴, $X,A$ 是 $\mathcal C$ 的对象; 定义 $X$ 的 $A$-系数 $0$ 阶上同调为映射空间的截断 $$ H^0(X,A) := \pi_0 \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,A). $$ 对于正整数 $n$, 对象 $X,A$, 若 $A$ 具有 $n$ 阶逆环路空间 $\mathbf{B}^n A$, 则定义 $X$ 的 $A$-系数 $n$ 阶上同调为 $$ H^n(X,A) := H^0(X,\mathbf{B}^n A) = \pi_0\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,\mathbf{B}^n A). $$

由上述讨论, 我们可定义群 $G$ 系数的 $1$ 阶上同调, 因为 $G$ 具有一阶逆环路空间 $\mathbf{B}G$, 上同调 $H^1(X,G)$ 就定义为 $$ H^1(X,G) := \pi_0\operatorname{Hom}(X,\mathbf{B}G). $$

一般地, 要计算空间 $X$ 到空间 $M$ 的映射空间, 若能将 $M$ 表示为某类对象的分类空间, 则要计算的东西可以转化为 $X$ 上的这类对象的丛. 群 $G$ 的逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 正是 $G$-主齐性空间的群胚 (因为 “任何 $G$-主齐性空间都同构于 $G$ 本身, 而这个对象的自同构群就是 $G$”), 所以毫不奇怪地, 计算 $G$-系数 $1$ 阶非 Abel 上同调就是计算 $G$-主丛.

平坦景上的主齐性空间

主丛页面介绍的主丛的一般理论. 现在我们将它具体到概形的平坦景上.

考虑概形 $X$ 上的平坦局部有限型群 $G$. 以下所有概形均为 $X$-概形.

在概形的平坦景上讨论, 重要的一点是局部有限表现概形的范畴米田嵌入到平坦景上的层范畴, 这称为 Grothendieck 拓扑的次典范性. 对概形的许多讨论都可以推广到平坦景上的层.

局部平凡性

首先, 我们看主丛的局部平凡性如何表现在平坦景上. (回忆抽象的主丛的局部平凡性不过是因为主丛平凡化自身.)

命题. 设群 $G$ 作用于概形 $S$. 如下条件等价:

  1. $S$ 忠实平坦, 局部有限型, 且 $S\times_X G\to S\times_X S$ 为同构, 其中两个分量分别为作用映射和投影映射.
  2. 存在平坦覆盖 $\{U_i \to X\}$, 使得 $S_{U_i}$ 带有的 $G_{U_i}$-作用等同于 $G_{U_i}$ 在自身上的作用.

证明.

  • 1 $\Rightarrow$ 2. 取覆盖为 $S\to X$ 即可.
  • 2 $\Rightarrow$ 1. 令 $U=\bigsqcup_i U_i$, 则 $U$ 忠实平坦, 局部有限型, 且 $S_U$ 作为 $G_U$-作用同构于 $G_U$. 这意味着 $$ (S\times_X G)_U \to (S\times_X S)_U $$ 为同构. 沿 $U\to X$ 使用下降理论, 可知 $$ S\times_X G\to S\times_X S $$ 亦为同构.

可表性

平坦景上的层不一定可表为概形. 但是对于平坦景上的 $G$-主齐性空间 $S$, 由于我们已知其被一个有限型忠实平坦映射拉回之后同构于 $G$, 故有较大的希望应用概形的 fpqc 下降 (Milne 定理 I.2.23) 证明 $S$ 可表. 这件事在如下情形中成立 (Milne 定理 III.4.3):

  1. $G$ 在 $X$ 上仿射;
  2. $G$ 在 $X$ 上光滑, 分离, 且 $X$ 的维数 $\leq 1$;
  3. …

上圈

一般而言, 上同调类的表现称为上圈. 对于一阶非 Abel 上同调, 有一种重要的表现称为 Čech 上圈.

非交换 Čech 上同调页面介绍了 Čech 上圈的抽象陈述, Čech 上同调与真正的上同调的关系, 并讨论了 $0$-截断情形.

Zariski, 平展与平坦的比较

见 Zariski, 平展与平坦的比较.

应用: Kummer 理论与 Artin–Schreier 理论

Brauer 群与二阶上同调

本节介绍概形 $X$ 的 Brauer 群与 $H^2(X,\mathbb G_m)$ 的关系; $X$ 上的 Azumaya 代数的相似等价类 (Morita 等价类) 给出 $H^2(X,\mathbb G_m)$ 的元素.

假设读者了解域 $k$ 的 Brauer 群, 即 $k$ 上的中心单代数的相似类关于张量积构成的群.

局部环的 Brauer 群

设 $R$ 为局部环.

相比于一个 Azumaya 代数具体是什么, 我们其实更加关心 Azumaya 代数的自同构群是什么. 因为我们最后关心的是这种对象的丛的同构类集合; 而任何一个丛都关联于一个群的主丛, 这个群正是纤维的自同构群. 所以如下的命题是尤其重要的. 但目前我不知道如何更好地理解这个命题.

命题 (Skolem–Noether 定理, Milne 命题 IV.1.4). 设 $A$ 是 $R$ 上的 Azumaya 代数. 则 $A$ 作为 $R$-代数的自同构均为内自同构, 即形如 $a\mapsto uau^{-1}$, 其中 $u\in A$ 为可逆元.

命题 (Milne 推论 IV.1.5). $M_n(R)$ 作为 $R$-代数的自同构群是 $\mathrm{PGL}_n(R) = \mathrm{GL}_n(R) / R^*$.

Azumaya 代数与概形的 Brauer 群

Azumaya 代数 页面介绍了 Azumaya 代数的基本性质:

  • 概形上的 Azumaya 代数是平展局部矩阵代数.
  • 概形上的 Azumaya 代数的自同构在 Zariski 局部为内自同构 (Skolem–Noether定理).
  • 概形上的 Azumaya 代数的同构类由 $H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathrm{PGL}_n)$ 分类.
  • 群同态 $\mathrm{GL}_n \to \mathrm{PGL}_n$ 给出的上同调的映射 $H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathrm{GL}_n) \to H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathrm{PGL}_n)$ (向量丛 $\to$ Azumaya 代数) 将向量丛 $E$ 对应到 $\operatorname{End}(E)$.

Morita 等价页面介绍了 Morita 等价的等价刻画, 由此可以证明

故

正合列

命题. 对概形 $X$, 有带基点集合的正合列 $$ \cdots\to H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathrm{GL}_n) \to H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathrm{PGL}_n) \overset{d}{\to} H^2(X_{\mathrm{\'et}},\mathbb G_m), $$ 其中 $d$ 将 Azumaya 代数 $A$ 的同构类对应到 $A$ 的相似类. 映射 $d$ 有两种具体写出的方法:

  • 通过 Čech 上同调, 设 $H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathrm{PGL}_n)$ 的一个元素由覆盖 $U$ 上的上圈 $\alpha\colon U\times_X U\to \mathrm{PGL}_n$ 表现, 通过细化覆盖 (即取覆盖 $U'\to U$), 不妨设 $\alpha$ 可提升至 $\alpha\colon U\times_X U \to \mathrm{GL}_n$, 那么 $d$ 将这个上圈映射到 $\mathbb G_m$-系数的 $2$ 阶 Čech 上圈 $$ a = \alpha\mathrm{pr}_{23}\cdot (\alpha\mathrm{pr}_{13})^{-1} \cdot \alpha\mathrm{pr}_{12} \colon U\times_X U \times_X U \to \mathbb G_m\subset\mathrm{GL}_n. $$
  • 通过 Azumaya 代数表现的束 (gerbe) $F_A$. 对 $U\in X_{\mathrm{\'et}}$, $F_A(U)$ 是代数同构 $A_U \simeq \operatorname{End}(E)$ ($E$ 为 $U$ 上的向量丛) 构成的 $1$-群胚. 由于 Azumaya 代数平展局部同构于矩阵代数, $F_A$ 局部非空, 构成一个由群 $\mathbb G_m$ 控制的束: $$ \begin{aligned} \operatorname{Aut}_{F_A(U)}(x)&\simeq \operatorname{Aut}_{\operatorname{Aut}(\operatorname{End}(E))}(\mathrm{id})\\ &\simeq Z(\operatorname{End}(E))\simeq \mathbb G_m(U), \end{aligned} $$ (其中 $Z$ 表示代数的中心) 从而 (由束与上同调的关系) 定义了 $H^2(X_{\mathrm{\'et}},\mathbb G_m)$ 的元素; 并且它平凡当且仅当 $F_A$ 有整体元素, 即 $A$ 在整体上同构于一个向量丛的自同态代数.

挠

下图中每行每列均为群的短正合列: $$ \begin{array} {ccccc} \mu_n & \to & \mathbb G_m & \to & \mathbb G_m\\ \downarrow & & \downarrow & & |\!| \\ \mathrm{SL}_n & \to & \mathrm{GL}_n & \to & \mathbb G_m\\ \downarrow & & \downarrow & & \\ \mathrm{PGL}_n & = & \mathrm{PGL}_n \end{array} $$

比较第一列与第二列的上同调长正合列, 可得 $$ \begin{array} {ccc} H^1(X,\mathrm{PGL}_n) & \overset{\mathrm{id}}{\to} & H^1(X,\mathrm{PGL}_n)\\ \downarrow & & \downarrow \\ H^2(X,\mu_n) & \to & H^2(X,\mathbb G_m). \end{array} $$ 而 $H^2(X,\mu_n)$ 是 $n$-挠群, 故同态 $H^1(X,\mathrm{PGL}_n) \to H^2(X,\mathbb G_m)$ 的像是 $n$-挠群.