Wiki. 单纯同伦 [单纯同伦]

观念

单纯同伦是单纯集之间的态射的一种关系, 可用于表现 $\infty$-范畴中的同伦.

定义

单纯集 $X,Y\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ 之间的映射 $f,g\colon X \to Y$ 之间的一个单纯同伦是一个映射 $$ h\colon X\times\Delta^1 \to Y, $$ 满足 $h|_{X\times \{0\}} = f$, $h|_{X\times \{1\}} = g$.

下面具体写出 $h$ 的前几个分量及其满足的条件. 注意到 $\Delta^1_n$ 的元素相当于偏序集的态射 $\{0\leq 1 \leq\cdots\leq n\}\to \{0\leq 1\}$, 记之为 $0\cdots 0, 0\cdots 01,\cdots, 1\cdots 1$.

$h$ 的前几个分量:

  • $h_0 \colon X_0 \times \{0,1\} \to Y_0$,
  • $h_1 \colon X_1 \times \{00,01,11\} \to Y_1$,
  • $h_2 \colon X_2 \times \{000,001,011,111\} \to Y_2$,
  • …

同伦的起止点的限制:

  • 对 $x\in X_0$,

    • $h_0(x,0) = f_0(x)$,
    • $h_0(x,1) = g_0(x)$,

  • 对 $x\in X_1$,

    • $h_1(x,00) = f_1(x)$,
    • $h_1(x,11) = g_1(x)$,

  • 对 $x\in X_2$,

    • $h_2(x,000) = f_2(x)$,
    • $h_2(x,111) = g_2(x)$,

  • …

单纯图表的交换性:

对 $x\in X_0$,

  • $s_0 h_0 = h_1 s_0$, 即
    • $s_0 h_0 (x,0) = h_1 (s_0 x, 00)$, 即 $s_0 f_0(x) = f_1(s_0x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $s_0 h_0 (x,1) = h_1 (s_0 x, 11)$, 即 $s_0 g_0(x) = g_1(s_0x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,

对 $x\in X_1$,

  • $d_1 h_1 = h_0 d_1$, 即
    • $d_1h_1(x,00) = h_0(d_1 x,0)$, 即 $d_1 f_1(x) = f_0(d_1 x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $d_1h_1(x,01) = h_0(d_1 x,0)$, 即 $d_1 h_1(x,01) = f_0(d_1 x)$,
    • $d_1 h_1(x,11) = h_0(d_1 x,1)$, 即 $d_1 g_1(x) = g_1(d_1 x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
  • $d_0 h_1 = h_0d_0$, 即
    • $d_0h_1(x,00) = h_0(d_0 x,0)$, 即 $d_0 f_1(x) = f_0(d_0 x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $d_0h_1(x,01) = h_0(d_0 x,1)$, 即 $d_0 h_1(x,01) = g_0(d_0 x)$,
    • $d_0 h_1(x,11) = h_0(d_0 x,1)$, 即 $d_0 g_1(x) = g_1(d_0 x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
  • $s_0 h_1 = h_2 s_0$, 即
    • $s_0 h_1 (x,00) = h_2 (s_0 x,000)$, 即 $s_0 f_1 (x) = f_2 (s_0 x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $s_0 h_1 (x,01) = h_2 (s_0 x,001)$,
    • $s_0 h_1 (x,11) = h_2 (s_0 x,111)$, 即 $s_0 g_1 (x) = g_2(s_0 x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
  • $s_1 h_1 = h_2 s_1$, 即
    • $s_1 h_1 (x,00) = h_2 (s_1 x,000)$, 即 $s_1 f_1 (x) = f_2 (s_1 x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $s_1 h_1 (x,01) = h_2 (s_1x,011)$,
    • $s_1 h_1 (x,11) = h_2 (s_1 x,111)$, 即 $s_1 g_1 (x) = g_2(s_1 x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,

对 $x\in X_2$,

  • $d_2 h_2 = h_1 d_2$, 即
    • $d_2 h_2 (x,000) = h_1 (d_2 x,00)$, 即 $d_2 f_2 (x) = f_1(d_2 x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $d_2 h_2 (x,001) = h_1 (d_2 x,00)$, 即 $d_2 h_2 (x,001) = f_1 (d_2 x)$,
    • $d_2 h_2 (x,011) = h_1 (d_2 x,01)$,
    • $d_0 h_2 (x,111) = h_1 (d_0 x,11)$, 即 $d_2 g_2 (x) = g_1 (d_2 x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
  • $d_1 h_2 = h_1 d_1$, 即
    • $d_1 h_2 (x,000) = h_1 (d_1 x,00)$, 即 $d_1 f_2 (x) = f_1(d_1 x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $d_1 h_2 (x,001) = h_1 (d_1 x,01)$,
    • $d_1 h_2 (x,011) = h_1 (d_1 x,01)$,
    • $d_1 h_2 (x,111) = h_1 (d_0 x,11)$, 即 $d_1 g_2(x) = g_1 (d_1 x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
  • $d_0 h_2 = h_1 d_0$, 即
    • $d_0 h_2 (x,000) = h_1 (d_0 x,00)$, 即 $d_0f_2 (x) = f_1(d_0 x)$, 由 $f$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,
    • $d_0 h_2 (x,001) = h_1 (d_0 x,01)$,
    • $d_0 h_2 (x,011) = h_1 (d_0 x,11)$, 即 $d_0 h_2 (x,011) = g_1 (d_0 x)$,
    • $d_0 h_2 (x,111) = h_1 (d_0 x,11)$, 即 $d_0 g_2 (x) = g_1 (d_0 x)$, 由 $g$ 为单纯集同态保证, 对 $h$ 无条件,

到现在为止, 对 $h$ 的条件本质上只有:

  • 对 $x\in X_1$,

    • $h_1(x,01)$ 是连接 $f(d_1 x)$ 与 $g(d_0 x)$ 的 $1$-单形,
    • $s_0 h_1 (x,01) = h_2 (s_0 x,001)$,
    • $s_1 h_1 (x,01) = h_2 (s_1x,011)$,

  • 对 $x\in X_2$,

    • $h_2 (x,001)$ 是以 $f_1 (d_2 x)$, $h_1 (d_1 x,01)$, $h_1 (d_0 x,01)$ 为三边的 $2$-单形,
    • $h_2 (x,011)$ 是以 $h_1 (d_2 x,01)$, $h_1 (d_1 x,01)$, $g_1 (d_0 x)$ 为三边的 $2$-单形.

性质