Wiki. 非交换 Čech 上同调 [非交换Čech上同调]

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观念

非交换 Čech 上同调是用 Čech 脉计算非 Abel 上同调的方法, 是 Čech 上同调的非交换推广.

对象 $X$ 上群 $G$ 系数的 $1$ 阶非 Abel 上同调即 $X$ 到 $\mathbf{B}G$ 的映射类, 也即 $X$ 上 $G$-主丛的等价类; 若 $X$ 上的主丛 $P$ 被 $X$ 的覆盖 $U\to X$ 平凡化, 则对应的映射类 $X\to\mathbf{B}G$ 可被 $G$-Čech 上圈实现.

定义

一阶: 一般情形

这里 “覆盖” 指的是 $\infty$-意象中的有效满射, 即在 $\pi_0$ 上满的映射.

定义. 覆盖 $U\to X$ 上的 $1$ 阶 $G$-Čech 上圈是 Čech 脉 (作为单纯对象) 之间的态射 $$ \alpha\colon \text{\v{C}}(U\to X) \to \text{\v{C}}(*\to \mathbf{B}G). $$ 展开来看, $\alpha$ 就是如下一系列映射以及它们之间的相容条件:

$\alpha_0\colon U \to *$,
$\alpha_1\colon U\times_X U \to G$,
$\alpha_2\colon U\times_X U\times_X U \to G\times G$,
- $\mathrm{pr}_{12}, \mathrm{pr}_{13}, \mathrm{pr}_{23}\colon U\times_X U\times_X U \to U\times_X U$
- $\mathrm{pr}_1, \mu, \mathrm{pr}_2\colon G\times G\to G$
满足 $\mathrm{pr}_1 \alpha_2 = \alpha_1 \mathrm{pr}_{12}$, $\mathrm{pr}_2 \alpha_2 = \alpha_1 \mathrm{pr}_{23}$, $\mu \alpha_2 = \alpha_1 \mathrm{pr}_{13}$,
…

例如, 由上面写出的这些条件可得等式 $\mu\circ (\alpha_1\mathrm{pr}_{12},\alpha_1\mathrm{pr}_{23})=\alpha_1\mathrm{pr}_{13}$, 也即 $$ \alpha (u,v)\alpha(v,w) = \alpha(u,w). $$

上同调等价

定义, 对于覆盖 $U\to X$ 上的两个 $G$-Čech 上圈 $\alpha,\alpha'$, 若存在单纯同伦 $\alpha\to\alpha'$, 即 $$ \eta \colon \text{\v{C}}(U\to X)\times\Delta^1\to \text{\v{C}}(*\to \mathbf{B}G), $$ 满足 $\eta_0 = \alpha$, $\eta_1 = \alpha'$, 则称 $\alpha,\alpha'$ 上同调等价 (cohomologous).

由单纯同伦页面写下的条件, $G$-Čech 上圈 $\alpha,\alpha'$ 的上同调等价包含如下资料:

记 $h_1(-,01) \colon U\times_X U \to G$ 为 $h(u,v)$, 则
- $h(v,w)\alpha(u,v) = h(u,w)$,
- $\alpha'(v,w)h(u,v)=h(u,w)$.
令 $\eta(u) = h(u,u)$, 则由上两式, $$ \eta(v)\alpha(u,v) = h(u,v) = \alpha'(u,v) \eta(u). $$

覆盖 $U\to X$ 上的 $1$ 阶 $G$-Čech 上圈的等价类记为 $H^1(U/X,G)$; 在许多场合中, 可以定义 $X$ 的 $G$-系数 $1$ 阶非交换 Čech 上同调为对某些覆盖的余极限 $$ \check H^1(X, G):=\operatorname{colim}_{U\to X} H^1(U/ X, G). $$ 这里 “某些覆盖” 是根据具体情形选取的一类覆盖, 期待让 $\check H^1(X, G)$ 按后面说的方式实现了 $H^1(X,G)$ 的每个元素. (如果在抽象的场景考虑所有覆盖, 那么任意 $p\in H^1(X,G)$ 对应的主丛 $P\to X$ 平凡化 $P$ 自身, 从而 $H^1(P/X,G)$ 有一个元素实现了 $P$, 这就没有意思了.)

与真正的上同调的关系

由 Giraud 公理, 覆盖 $U\to X$ 的 Čech 脉的几何实现是 $X$ 自身, 故 $G$-Čech 上圈 $\alpha\colon \text{\v{C}}(U\to X) \to \text{\v{C}}(*\to \mathbf{B}G)$ 给出几何实现之间的映射 $|\alpha|\colon X \to\mathbf{B}G$, 也即 $H^1(X,G)$ 的元素.

另一方面, $H^1(X,G)$ 中的元素 $p\colon X\to\mathbf{B}G$ 能被覆盖 $U\to X$ 的 Čech 上圈实现的一个充分条件是 $U\to X$ 平凡化 $p$, 也即有交换图 $$ \begin{array} {ccc} U & \to & * \\ \downarrow & \swarrow \!\!{\scriptsize\alpha}\!\!\!\! & \downarrow \\ X & \to & \mathbf{B}G. \end{array} $$ 此时由 Čech 脉的函子性, 当然有 Čech 脉之间的映射. 注意, 上述交换图是一个结构而非性质, 其中的 $2$-态射 $\alpha\colon \mathrm{triv}\to p$ 要参与到 Čech 上圈的计算中. 例如要计算其在 Čech 脉的第 $1$ 层上的映射, 考虑下图: $$ \begin{array} {ccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! U\times_X U \!\!\!\! & \to & U \\ \downarrow & & \downarrow & \searrow \\ U & \to & X & & *\\ & \searrow & & \searrow & \downarrow \\ && * & \to & \mathbf{B}G, \end{array} $$ 其中右方, 下方两个平行四边形均为 $2$-态射 $\alpha$. 可得 Čech 脉的第 $1$ 层上的映射为 $$ (\alpha\mathrm{pr}_2)^{-1} (\alpha\mathrm{pr}_1)\colon U\times_X U \to G = *\times_{\mathbf{B}G} *. $$

总结起来, 要想 $$ \check H^1(X, G):=\operatorname{colim}_{U\to X} H^1(U/ X, G). $$ 计算了真正的 $H^1(X,G)$, 就是要用合适的覆盖去平凡化每个 $G$-主丛.

二阶: 交叉模

设 $(G,H,\delta,\alpha)$ 为交叉模.