Wiki. 交叉模 [交叉模]
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观念
交叉模 (crossed module) 是用两个 $0$-截断群与两个态射表现一个 $1$-截断群 (也等同于连通 $2$-截断生象, 连通 $2$-群胚) 的方法.
定义
2-群胚
一种直观的定义交叉模的思路如下. 设想我们要将交叉模定义为严格 $2$-群胚, 其中只有一个对象, 有若干 $1$-态射, 若干 $2$-态射, 态射的复合严格结合.
一个交叉模是如下资料:
- 群 $G$, 想象为 $1$-态射关于复合构成的群;
- 群 $H$, 想象为由 $\mathrm{id}_G$ 出发的 $2$-态射关于横向复合构成的群;
- 群同态 $\delta \colon H \to G$, 称为 “边界”, 想象每个 $h\in H$ 是 $\mathrm{id}_G$ 到 $\delta(h)$ 的 $2$-态射;
- 群 $G$ 在 $H$ 上的一个作用 $\alpha\colon (g,h) \mapsto {^g h}$, 想象为胡须 (whiskering). $$ \begin{array} {ccccccc} &&& \overset{\delta(h)}{\leftarrow}\\ \bullet &\overset{g}{\leftarrow} &\bullet & \Uparrow\scriptsize{h} &\bullet &\overset{g^{-1}}{\leftarrow}&\bullet\\ &&& \underset{\mathrm{id}_G}{\leftarrow} \end{array} $$
注. 只记录 $\mathrm{id}_G$ 出发的 $2$-态射的原因是, 所有 $2$-态射都能唯一地表示为 $\mathrm{id}_G$ 出发的 $2$-态射的 “胡须”: $$ \begin{array} {ccccc} &&& \overset{\delta(h)}{\leftarrow}\\ \bullet &\overset{g}{\leftarrow} &\bullet & \Uparrow\scriptsize{h} &\bullet &\\ &&& \underset{\mathrm{id}_G}{\leftarrow} \end{array} $$ 引入一个临时记号, 记上述 $2$-态射为 $g \star h \colon g \to g\delta(h)$. 则该严格 $2$-群胚中一般 $2$-态射 $[g\star h]\colon g\to g'=g\delta(h)$ 以及 $[g\delta(h)\star h'] \colon g'\to g''= g\delta(h)\delta(h')$ 的复合为 $$ [g\delta(h)\star h']\circ [g\star h] = g \star (hh'). $$ $$ \begin{array} {ccccccc} &&& \overset{\delta(h)}{\leftarrow}&&\overset{\delta(h')}{\leftarrow}\\ \bullet &\overset{g}{\leftarrow} &\bullet & \Uparrow\scriptsize{h} &\bullet &\Uparrow\scriptsize{h'}&\bullet\\ &&& \underset{\mathrm{id}_G}{\leftarrow}&& \underset{\mathrm{id}_G}{\leftarrow} \end{array} $$
- 满足一些等式. 这些等式实际上就是严格 $2$-群胚的结构要求的等式:
- $\delta({^g h}) = g \delta(h) g^{-1}$, 说的是“胡须“ 的边界是共轭运算;
- ${^{\delta(h)}}h' = h h' h^{-1}$, 说的是 $2$-态射的横向复合的一种相容性; 具体地, 下图中既可以先横向复合得到 ${^{\delta(h)}}h'$, 也可以先纵向复合得到 $h h' h^{-1}$:
$$ \begin{array} {ccccccc} \bullet& \leftarrow &\bullet& \leftarrow &\bullet& \leftarrow &\bullet\\ |\!| && |\!| & {\Uparrow\scriptsize{h'}} & |\!| && |\!|\\ \bullet& \leftarrow &\bullet& \leftarrow &\bullet& \leftarrow &\bullet\\ |\!| & {\Uparrow\scriptsize{h}} & |\!| && |\!| & {\Uparrow\scriptsize{h^{-1}}} & |\!|\\ \bullet& \leftarrow &\bullet& \leftarrow &\bullet& \leftarrow &\bullet \end{array} $$
例
Abel 群的二阶逆环路空间
当 $G$ 为平凡群时, 交叉模 $(G,H,\delta,\alpha)$ 退化为 Abel 群 $H$, 其对应的连通 $2$-截断生象即为二阶逆环路空间 $\mathbf{B}^2 H$.
$0$-截断群 (即连通 $1$-截断生象) 构成一个 $2$-范畴, 其中态射为群同态, $2$-态射为群同态之间的同伦, 即共轭. 这个 $2$-范畴中的对象 $H$ 给出一个交叉模. 首先 $H$ 可视为一个群, $G = \operatorname{Aut}(H)$.