Wiki. 主齐性空间, 主丛 [主丛]

观念

主齐性空间 (principal homogeneous space), 又称旋子 (torsor), 是一个 “忘掉了单位元在哪里的群”. 对于群 $G$, 一个 $G$-主齐性空间是一个带有 $G$-作用的对象 $P$, 且满足其商 $P / G$ 是一个点 (在 $1$-范畴语境中这等同于说作用是自由且传递的).

当我们谈论的对象是相对于一个基底空间 $X$ 上的丛 (或层) 时, 主齐性空间又称为 $X$ 上的主丛 (principal bundle). 对于群 $G$, 空间 $X$ 上的 $G$-主丛是 $X$ 上一个带有 $G$-作用的对象 $P\to X$, 满足其商 $P / G$ 就是 $X$.

空间 $X$ 上的 $G$-主丛在局部上是 $G$, 但不一定有整体截面; 有整体截面的 $G$-主丛即同构于平凡 $G$-主丛.

在 $\infty$-意象中可以谈论群和主丛 (主齐性空间); 这涵盖了所有 “主丛” 的概念.

群 $G$ 的主丛的分类空间是其逆环路空间 $\mathbf{B}G$; 空间 $X$ 到 $\mathbf{B}G$ 的映射同伦类又称为 $1$ 阶非 Abel 上同调类.

定义

意象中的主丛

设 $G$ 是 $\infty$-意象 $\mathcal X$ 中的群. 定义 $\mathcal X$ 上的 $G$-主丛即是终对象 $1$ 到逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 的态射 $1\to\mathbf{B}G$.

定义对象 $X\in\mathcal X$ 上的 $G$-主丛为俯意象 $\mathcal X_{/X}$ 上的 $G$-主丛, 这相当于 $\mathcal X$ 中的态射 $X\to \mathbf{B}G$, 给出如下拉回图, $$ \begin{array} {ccc} P & \to & 1 \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \to & \mathbf{B}G \end{array} $$ 因此 $X$ 上的 $G$-主丛也即 $G$ 在某对象 $P$ 上的作用, 且使得商 $P/G$ 等价于 $X$.

注. 一般而言 $G$-主丛会共享 $G$ 的许多拉回稳定的性质. 例如当 $G$ 是 $0$-截断对象时, 映射 $1\to \mathbf{B}G$ 是 $0$-截断映射, 从而其拉回也是 $0$-截断映射. 这意味着 $0$-截断对象 $X$ 上的 $G$-主丛的全空间也是 $0$-截断对象, 也就是落在 $1$-意象 $\mathcal X_{\leq 0}$ 中.

上述定义中 $\mathbf{B}G$ 也可替换为任意的生象 $A$, 通过常值层函子视为意象的对象. 由意象的下降, $$ \mathcal X_{/A}\simeq \operatorname{lim}_A \mathcal X =\mathsf{Fun}(A,\mathcal X), $$ 态射 $1\to A$ 等同于函子 $P\colon A\to \mathcal X$, 满足 $\operatorname{colim}_{a\in A}P_a\simeq 1$.

一般范畴

要想在一般的范畴 (如拓扑空间的范畴, 流形的范畴) 中定义主丛, 只需要将其嵌入到一个层意象中, 再使用意象中的主丛的定义. 不过需要注意逆环路空间 $\mathbf{B}G = * / G$ 以及一般的商 $X / G$ 可能不再是原来范畴的对象.

$1$-范畴的具体情形

在 $(1,1)$-范畴中, 可以用更简单具体的资料来定义群的主齐性空间. 每个 $G$-作用都给出 $\infty$-意象中的一个 $G$-主丛, 但要使得基底空间 $X / G$ 落在原来的 $1$-范畴, 就需要加自由作用的条件.

性质

使用 Čech 上同调的计算

对于覆盖 (即意象中的满射) $U\to X$, 由于 Giraud 公理, $X$ 是 Čech 脉的几何实现 $$ X \simeq \operatorname{colim} \text{\v{C}}(U\to X), $$ 故对象 $X$ 上的主丛可表示为 $\text{\v{C}}(U\to X)$ 上的主丛: $$ \operatorname{Hom}(X,\mathbf{B}G) \simeq \operatorname{lim} \big(\operatorname{Hom}(U,\mathbf{BG})\rightrightarrows \operatorname{Hom}(U\times_X U,\mathbf{BG})\cdots\big). $$ 由此, 可用非交换 Čech 上同调计算 $X$ 上的 $G$-主丛的同构类等信息.

例

有限群的主丛

对于离散拓扑群 $G$, 其主丛等同于 Galois 覆叠.