Wiki. “联络” [联络]
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主丛上的联络
(待补充)
局部表达式
命题. 对于平凡的主丛 $P$, 其上的联络与底流形 $M$ 上的 $\mathfrak g$-值微分形式有同构 $$ \mathcal A(P)\to \Omega^1(M,\mathfrak g). $$ 前者是后者的仿射空间.
规范变换
规范群 $\mathcal G(P)$ (即主丛 $P$ 的自同构群) 作用于 $\mathcal A(P)$ 上, 因为 $P$ 上联络的拉回是联络.
与自同构的关系
向量丛的自同构作用于联络的空间. 设 $\alpha$ 为 $\operatorname{End}(E)$ 的截面, $\nabla$ 为 $E$ 上的联络, 则 $\nabla' =\alpha\circ \nabla \circ \alpha^{-1}$ 为 $E$ 上的联络. 称 $\nabla'$ 与 $\nabla$ 规范等价 (gauge equivalent).
可以证明 $$ \alpha\circ \nabla \circ \alpha^{-1} = \nabla - \nabla\alpha \circ \alpha^{-1}. $$
Levi-Civita 联络
Riemann 流形的切丛上存在唯一的联络 $\nabla$, 满足
- $\nabla g = 0$ (度量相容性);
- $\nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]=0$ (无挠率, torsion-free).