Wiki. 联络 [联络]
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观念
联络是描述丛的纤维之间如何沿着底空间上的道路相联系的结构.
定义
主丛上的联络
(待补充)
性质
局部表达式
命题. 平凡主丛 $P$ 上的联络的空间 $\mathcal A(P)$ 是底流形 $M$ 上的 $\mathfrak g$-值微分形式空间 $\Omega^1(M,\mathfrak g)$ 的仿射空间 (主齐性空间).
称主丛 $P$ 的自同构群为规范群 $\mathcal G(P)$, 规范群作用于 $P$ 上, 通过拉回作用于 $\mathcal A(P)$ 上, 称之为规范变换.
与自同构的关系
向量丛的自同构作用于联络的空间. 设 $\alpha$ 为 $\operatorname{End}(E)$ 的截面, $\nabla$ 为 $E$ 上的联络, 则 $\nabla' =\alpha\circ \nabla \circ \alpha^{-1}$ 为 $E$ 上的联络. 称 $\nabla'$ 与 $\nabla$ 规范等价 (gauge equivalent).
可以证明 $$ \alpha\circ \nabla \circ \alpha^{-1} = \nabla - \nabla\alpha \circ \alpha^{-1}. $$
例
Levi-Civita 联络
Riemann 流形的切丛上存在唯一的联络 $\nabla$, 满足
- $\nabla g = 0$ (度量相容性);
- $\nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]=0$ (无挠率, torsion-free).