Wiki. “Maurer–Cartan 形式” [Maurer--Cartan形式]

Maurer–Cartan 形式是 Lie 群 $G$ 某种意义上唯一的左不变 $\mathfrak g$-取值 $1$-形式.

定义

记 $L_g\colon G\to G$ 为左平移, 定义 $G$ 上的 $\mathfrak g$-值 $1$-形式 $\omega$: $$ \omega_g (X)=(L_{g^{-1}})_*X\,(X\in T_gG). $$

性质

不变性: $$ (R_g)^*\omega = \operatorname{Ad}(g^{-1})\circ \omega. $$ 证明. 设 $X\in T_hG$. $$ \begin{aligned} (R_g)^*\omega (X)&= \omega((R_g)_*X)\\ &=(L_{(hg)^{-1}})_*X\\ &=(L_{g^{-1}})_* (L_{h^{-1}})_*X\\ &=\operatorname{Ad}(g^{-1})((L_{h^{-1}})_*X)=\operatorname{Ad}(g^{-1})\circ\omega (X). \end{aligned} $$