Wiki. “陈类” [陈类]
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陈省身 1945 年在 Annals 上的文章用
- $\operatorname{exp}$ 正合列,
- 曲率,
- 阻碍
三种方式定义了陈类.
历史: 1933 年 Kähler 第一次写下 “陈形式”, 证明其与度量无关.
联络与曲率
(有问题, 重写)
给定流形 $X$ 上的向量丛 $E\to X$, 其上一个 (线性) 联络可视为微分同胚群的提升, 即群正合列 $$ 1 \to \operatorname{Aut}(E) \to \operatorname{Diffeo}(E) \to \operatorname{Diffeo}(M) \to 1 $$ 的无穷小版本 $$ 0 \to \operatorname{aut}(E) \to \operatorname{Lie}(E)\to \operatorname{Lie}(M) \to 0 $$ 的截面 $$ A\colon \operatorname{Lie}(M)\to \operatorname{Lie}(E). $$
阻碍
陈类是 $GL_n(\mathbb{C})$-主丛的整体截面的阻碍.
陈类 $c_k(E)$ (在 Poincaré–Verdier 对偶的意义下) 对应于 $E$ 的 $k$ 个整体截面线性相关的那些点确定的同调类.
例. 复流形的最高陈类对应于一般向量场的零点.
分类空间
陈类是分类空间 $BU(n)=BGL_n(\mathbb{C})$ 的上同调类.
线丛的陈类
线丛 (复 $1$ 维向量丛) 只有一个非平凡的陈类 $c_1$, 它也等于线丛的 Euler 类. 对于比较好的空间 $X$ (例如CW复形), $c_1$ 给出了 $X$ 上线丛的同构类与 $H^2(X;\mathbb Z)$ 的元素的一一对应, 且有 $$ c_1(L\otimes L')=c_1(L)+c_1(L'). $$
线丛的第一陈类等于指数序列 $$ 0\to \mathbb{Z} \to \mathcal O_X \overset{\exp(2\pi i -)}{\longrightarrow} \mathcal O_X^\times \to 0 $$ 给出的长正合列中的同态 $$ H^1(X,\mathcal O_X^\times) \overset{c_1}{\to} H^2(X,\mathbb{Z}), $$ $$ (U_{ij},f_{ij})\mapsto \Big(U_{ijk}, \frac{1}{2\pi i}(\log f_{ij}-\log f_{ik}+ \log f_{jk})\Big). $$
这个陈类与曲率通过如下同态相联系: $$ H^2(M;\mathbb{Z}) \to H^2(M;\mathbb{R}) \to H^2_{dR}(M), $$ $$ c_1(L) \to \cdots \to \Big[\frac{i}{2\pi}\Omega\Big] $$
归纳定义
(见 Milnor–Stasheff)
周环
在抽象情形可使用周环代替上同调构造陈类. 设 $E$ 为光滑代数簇 $X$ 上秩为 $r$ 的局部自由层, 考虑射影丛 $\pi\colon \mathbb P(E)\to X$ 与 $\mathbb P(E)$ 上的可逆层 $\mathcal O(1)$. 令 $\xi$ 为 $A^1(\mathbb P(E))$ 中由 $\mathcal O(1)$ 定义的除子类. 我们知道 $A(\mathbb P(E))$ 是由 $1,\xi,\cdots,\xi^{r-1}$ 生成的自由 $A(X)$-模, 于是有 $$ \xi^r -c_1\xi^{r-1}+\cdots+ (-1)^r c_r\xi^0 = 0. $$ 其中的系数 $c_i$ 定义为 $E$ 的陈类. 总陈类 $c(E):= 1+c_1(E)+\cdots + c_r(E)$ 满足 Whitney 条件: 对任意短正合列 $0\to c(E')\to c(E)\to c(E'')\to 0$ 有 $c(E)= c(E')c(E'')$.
对 $X$ 上的除子 $D$, 有 $c(\mathcal O_X(D))=1+D$.
若 $E$ 为可逆层 $\mathcal O(D_1),\cdots,\mathcal O(D_r)$ 的直和, 那么 $c(E)=\prod_i (1+D_i)$.
陈–Weil 理论
陈类可表示为曲率形式的特征多项式: $$ \det\left(I + \frac{it}{2\pi}\Omega\right) = \sum_k c_k t^k. $$ 见陈–Weil 理论.
全纯丛
全纯线丛的陈类