Wiki. “全纯线丛” [全纯线丛]

复一维全纯向量丛.

另见线丛.

陈类

定理. 设 $L\to M$ 为全纯线丛, 带有 Hermite 结构 $h$, 则有 (不依赖于平凡化!) $$ \Omega = - \partial \bar\partial \log h. $$ 推论. 全纯线丛的第一陈类 $$ c_1 = \frac{i}{2\pi}\Omega = - \frac{i}{2\pi} \partial \bar\partial \log h. $$ 见陈联络.

Picard 群

复几何中, 复流形 $X$ 的 Picard 群 $\operatorname{Pic}(X)$ 是 $X$ 上全纯线丛的同构类在张量积下构成的群, 也等同于除子的等价类构成的群.

全纯线丛的分类见全纯向量丛.

例

射影空间

命题. $\mathbb P^1(\mathbb{C})$ 的全纯(余)切丛 $T'\mathbb P^1(\mathbb{C}) = \mathcal O(2) = [2H]$, 其中 $H$ 是超平面 (即一个点) 对应的除子.

证明. 考虑开集 $U_\lambda = \{x_\lambda\neq 0\}$. 考虑 $T'\mathbb P^1(\mathbb{C})$ 在 $U_0$ (坐标函数为 $s$) 上的截面 $\frac{\partial}{\partial s}$, $U_1$ (坐标函数为 $t$) 上的截面 $-\frac{\partial}{\partial t}$, 在 $U_0\cap U_1$ 上有 $s=1/t$, $$ -\frac{\partial}{\partial t}=\frac{1}{t^2}\frac{\partial}{\partial s}=s^2\frac{\partial}{\partial s}. $$ 这说明 $T'\mathbb P^1(\mathbb{C})=\mathcal O(2)$.

命题. 对于 $k\in\mathbb{Z}_+$, $\mathbb{CP}^n$ 上的线丛 $\mathcal O(k)$ 的截面是 $k$ 次齐次多项式.