Wiki. “线丛” [线丛]

分类

复流形 $X$ 上的全纯线丛被 $H^1(X,\mathcal O_X^\times)$ 分类, 因为给定线丛无非是给定一些转移函数, 而这些转移函数构成 Čech 上圈, 见 Čech 上同调.

与除子的关系

除子 $D$ 对应的线丛 $\mathcal O_X(D)$ 是 “允许在 $D$ 上有奇点” 的函数层.

设 $D$ 是光滑除子, $\mathcal O_D$ 是其正则函数层. 正合列 $$ 0 \to \mathcal O_X(-D) \to \mathcal O_X \to \mathcal O_D\to 0 $$ 诱导的长正合列给出 Euler 示性数的加性 $$ \chi(\mathcal O_X(-D)) + \chi(\mathcal O_D) = \chi(\mathcal O_X). $$ 某种意义上可将 $\mathcal O_D$ 看成 $\mathcal O_X$ 和 $\mathcal O_X(-D)$ 的差.

另见除子.

陈类

第一陈类给出了 $X$ 上的复线丛与 $H^2(X,\mathbb{Z})$ 的元素的一一对应, 且将张量积对应到上同调类的和. 见陈类.