Wiki. Picard 群 [Picard群]

观念

空间的 Picard 群是其上线丛的同构类关于张量积构成的群.

定义

复流形

紧复流形 $M$ 的 Picard 群 $\text{Pic}(M)$ 是全纯线丛的同构类关于张量积构成的群. $\text{Pic}(M)$ 的单位元是平凡丛, 也即全纯函数层 $\mathcal O_M$.

定义 $\text{Pic}^0(M)$ 为 $\text{Pic}(M)$ 中由第一陈类等于零的线丛构成的子群.

概形

概形 (或环化空间) $X$ 的 Picard 群 $\operatorname{Pic}(X)$ 是 $X$ 上秩为 $1$ 的局部自由 $\mathcal O_X$-模的同构类在张量积下构成的群. 它也同构于平展上同调 $H^1(X_{\mathrm{\'et}},\mathbb G_m)$.

对称幺半范畴

对称幺半范畴的 Picard 群是其中可逆对象的同构类构成的 Abel 群.

性质

$\text{Pic}(M) \simeq H^1(M,\mathcal O_M^*)$.

$\text{Pic}^0(M) \simeq H^1(M,\mathcal O_M) / H^1(M,\mathbb{Z})$. (参见指数序列)

Dedekind 整环的谱的 Picard 群是这个环的理想类群.