Wiki. “全纯向量丛” [全纯向量丛]

$n$ 维全纯向量丛 (holomorphic vector bundle) 是复流形上以全纯映射 $U_{ij}\to GL(n,\mathbb{C})$ 为转移函数的复向量丛. 全纯向量丛也可等价地定义为投影映射 $E\to X$ 是复流形全纯映射的复向量丛.

注. 复向量丛可在一般的空间上定义, 而全纯向量丛依赖于底流形的复结构, 即全纯向量丛只能在复流形上定义.

度数

全纯线丛的度数是除子的 “系数之和”, 与第一陈类有关.

全纯向量丛 $E$ 的度数 (degree) 定义为其行列式丛 $\wedge^r E$ 的度数.

命题. 对两个全纯向量丛 $E_1,E_2$, $$ \deg (E_1\otimes E_2) = \deg(E_1)\operatorname{rank}(E_2) + \operatorname{rank}(E_1)\deg(E_2). $$

全纯截面

全纯向量丛 $E$ 上的全纯截面 (holomorphic section) 是指局部 (在某个平凡化中) 全纯的截面. 全纯截面构成一个层 $\mathcal O(E)$. 有时人们不区分全纯向量丛与其对应的层.

$\bar\partial$ 算子

全纯向量丛上的光滑截面上可定义算子 $$\bar\partial_E \colon C^\infty(M,E)\to C^\infty(M,E\otimes {T^*}''M). $$ 具体地, 给定局部的全纯截面 $\sigma_i$, 对光滑截面 $s= f^i \sigma_i$ 有 $\bar\partial_E s = (\bar\partial f^i) \sigma_i.$ 由于转移函数是全纯的, 这个表达式不依赖于 $\sigma_i$ 的选取.

例如复流形上的微分形式有算子 $$ \bar\partial \colon C^\infty (\wedge^{p,q}M)\to C^\infty(\wedge^{p,q+1}M). $$

等价定义

(待补充)

联络

见陈联络.

分类

定理 设 $X$ 是 $\mathbb P^1$ 或 椭圆曲线, 则 $X$ 上的全纯向量丛等同于代数向量丛, 也即局部自由层. 参见 GAGA.

定理 (Grothendieck) $\mathbb P^1$ 上的全纯向量丛都可写成 $$ \mathcal O(d_1)^{n_1}\oplus \cdots \oplus \mathcal O(d_k)^{n_k}. $$

定理. 椭圆曲线 $X$ 的 Picard 群同构于 $X$ 本身.

例

复流形的切丛是全纯向量丛.

另见 Hermite 向量丛, 线丛.