Wiki. “Hermite 向量丛” [Hermite向量丛]

定义

Hermite 向量丛是带有 Hermite 结构 $$ h\in \Gamma(\overline{E}^*\otimes E^*) $$ 的复向量丛. 换言之, 在每个点 $p$ 处, $h$ 是一个映射 (参见Hermite 向量空间) $$ \overline{E_p}\times E_p \to \mathbb{C}, $$ 也即 $E_p$ 上的 Hermite 内积.

对于 $E$ 是复流形上的全纯向量丛的情形, 设 $e_1,\cdots,e_r$ 为 $E$ 上的全纯标架 (holomorphic frame), 则 $$ h_{\bar i j}:= h(\overline{e_i},e_j) $$

全纯(余)切丛上的 Hermite 结构称为 Hermite 度量.

来自 Riemann 结构的 Hermite 结构

设 $g$ 是复流形 $X$ (的实切丛) 上的 Riemann 度量. 若 $g$ 与复结构相容 (也即乘以 $i$ 是等距同构), 则 $g$ 确定了 $X$ 上的 Hermite 结构. 此时基本形式 $\omega$ 为 $\omega = g(I-,-)$. 反过来 $g$ 也被复结构和基本形式完全确定: $g=\omega(-,I-)$.

基本形式为闭形式的 Hermite 结构称为 Kähler 流形.

例

$\mathbb P^1(\mathbb{C})$ 上存在 Hermite 度量: 在 $U_0$ (坐标函数为 $s$) 上 $\frac{1}{1+|s|^2}$, $U_1$ (坐标函数为 $t$) 上 $\frac{1}{1+|t|^2}$; 进一步, $\mathcal O_{\mathbb P^1}(k)$ 上存在 Hermite 度量 $\frac{1}{(1+|s|^2)^k}$.

Fubini–Study 度量

$\mathbb P^m(\mathbb{C})$ 上有 Hermite 度量 $$ \frac{\partial^2}{\partial \overline{t_\lambda^i}\partial t_\lambda^j}\log(|t_\lambda^0|^2+\cdots+1+\cdots+|t_\lambda^m|)^2. $$