Wiki. “陈联络” [陈联络]

陈联络在 Kähler 流形上尤其重要.

定义. 设 $(E,h)$ 为 Hermite 向量丛, 其上的陈联络是指满足 $\nabla h =0$, $(\nabla^{0,1})^2=0$ 的联络.

定理. 对任意全纯向量丛 $(E,\bar\partial_E)$, 给定其上的 Hermite 结构 $h$, 存在唯一的陈联络 $\nabla$ 满足 $\nabla^{0,1}=\bar\partial_E$.

$\nabla h=0$ 等价于对 $E$ 的光滑截面 $s,t$, $$ d(h(\bar s,t)) = h(\overline{\nabla s},t)+ h(\bar s,\nabla t), $$

定理. 对于全纯向量丛 $E$ 上的 Hermite 结构 $h$, 陈联络的联络形式为 $$ \omega = h^{-1} \partial h = (h^{i \bar k}\partial h_{\bar k j}). $$ 证明. 回忆联络形式 $\omega^i_j$ 的定义为 $$ \nabla e_j = e_i \otimes \omega^i_j, $$ 其中 $\omega^i_j$ 是 $(1,0)$-形式. 则 $$ \underbrace{\partial h_{\bar i j}}+ \bar\partial h_{\bar i j} = dh_{\bar i j}=h_{\bar k j}\overline{\omega^k_i}+ \underbrace{h_{\bar i k}\omega^k_j}. $$ $$ \omega^i_{j}=h^{i \bar k}\partial h_{\bar k j},\quad \omega = h^{-1}\partial h. $$

曲率

定理. 带有 Hermite 结构的全纯向量丛上的陈联络的曲率是一个 $(1,1)$-形式 $$ \Omega = \bar\partial (h^{-1}\partial h)= \bar\partial\omega. $$ 证明. $$ \begin{aligned} \Omega &= d\omega + \omega\wedge\omega\\ &= (\partial+\bar\partial)(h^{-1}\partial h) +h^{-1}\partial h \wedge h^{-1}\partial h\\ &=\cdots = \bar\partial (h^{-1}\partial h). \end{aligned} $$ 定理. 设 $L\to M$ 为全纯线丛, 则有 (不依赖于平凡化!) $$ \Omega = - \partial \bar\partial \log h. $$ 推论. 全纯线丛的第一陈类 $$ c_1 = \frac{i}{2\pi}\Omega = - \frac{i}{2\pi} \partial \bar\partial \log h. $$