Wiki. “基本形式” [基本形式]

定义

基本形式是指(近) Hermite 流形 (参见近复结构, Hermite 向量丛) 上的一个非退化 $(1,1)$-形式 $\omega$, 其定义为 $$ \omega(X,Y) = h(JX,Y). $$ 在局部坐标下有 $$ \omega= \sqrt{-1} g_{j\bar k}dz^j \wedge d\bar z^k. $$

性质

我们说 $\omega$ 是 “实” 的, 即它与它的共轭相等.

$\omega$ 的 $n$ 次外积是一个无处消失的最高形式, 也即体积形式 (或体积形式的 $n!$ 倍, 但有时这个常数被忽略) $$ \omega^n = \det (g_{i \bar j}) dz^1\wedge \overline{dz^1}\wedge \cdots\wedge dz^n \wedge \overline{dz^n}. $$

Kähler 流形上的基本形式 $\omega$ 称为 Kähler 形式, 满足 $d\omega = 0$.

为避免与联络形式混淆, 基本形式有时也用 $\gamma$ 表示.